例说Desmos辅助高中数学教学

江苏省南京外国语学校仙林分校(210023) 张爱民

Desmos(https：//www.desmos.com/calculator)是一个免费的、基于浏览器的图形计算器网站.目前已有手机APP 可以使用.它可以作为《几何画板》之外画图的有力补充,比画板处理分段函数、隐函数画图等问题更为便捷.实际学习和教学使用的过程中,我觉得以下列几种功能比较实用.

1.画分段函数

分段函数是高中函数学习中的重要内容,在Desmos 中,只须标注每一段的定义区间,即可得到相应图形(几何画板通常需要借助符号函数改写函数解析式来作图象,操作不够便利).

例1(2018 浙江-15) 已知t ∈ R, 函数f(x) =当t = 2 时, 不等式f(x) ＜0的解集是____.若函数f(x)恰有2 个零点,则t 的取值范围是____.

说明：打开Desmos,先输入解析式f(x)=x-4{x ≥t},添加滑块t;下一行输入式子f(x)=x2-4x+3{x ＜t}.

图1

先将滑块中t 的值调整到2, 观察可得第一空的解集(1,4);再左右拖动t 滑块改变t 的值,分析后不难得到第二空的结果(1,3]∪(4,+∞).

关于分段函数的输入, Desmos 有专门的方法.此函数的规范输入为：f(x) ={x ＜t:x2-4x+3,x ≥t:x-4},添加滑块t.不过当函数分段比较多或解析式比较长时,这种方法似乎不如上一种方便.

2.画圆锥曲线

进行圆锥曲线几何性质教学时,可以方便地画出给定方程的曲线,并利用滑块调整参数,观察曲线变化情况.

例2(苏教版习题改编)已知椭圆求k 的取值变化时,椭圆焦点所在坐标轴.

说明：打开Desmos,输入椭圆方程,添加滑块k,并将的取值范围设为1 ＜k ＜9(k5).

图2

手动调整滑块k 位置,方便学生观察椭圆形状变化.也可以点击滑块播放按钮,使k 的值自动变化,让学生观察,非常直观.

例3(苏教版复习题)设双曲线直线l 的方程是y-1=k(x-2).当k 为何值时,直线l 与双曲线C(1)有两个公共点? (2)有一个公共点? (3)没有公共点?

说明：Desmos 中输入双曲线方程和直线方程,添加滑块k,拖动滑块改变k 的值,观察并分析交点个数变化情况,即可得出相应结论.

图3

3.画线性规划中的可行域

线性规划问题画图是重点,也是难点.不过Desmos 中处理这类问题非常简单易操作.

例4(2013 全国II-9 改编) 已知a ＞0, x,y 满足, 若z =2x+y 的最小值为1,则a 的值为____.

在Desmos 中输入x ≥1{x+y ≤3}{y ≥a(x-3)},添加滑块a,设置a ＞0,右边即时显示出相应的可行域.输入目标函数z =2x+y,添加滑块z.

图4

分别通过拖动两个滑块,易发现当目标函数图象经过直线x = 1 与y = a(x-3)的交点P 时,z 有最小值.先将z的值调整为1,再拖动a 使得点P 在直线z =2x+y,此时a的值即为所求结果1.

图5

4.画参数方程和极坐标图象

(2019 南京一模)已知在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为ρ=2 cos θ,以极点O 为原点,极轴Ox 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为参数),求直线l 被圆C 截得的弦长.

说明：在Desmos 中,用r 表示ρ,输入r = f(θ),自动按极坐标画图.因而此题只要输入r =2 cos θ 就画出了圆C 图象.参数方程要按照点坐标的形式输入.所以本题直线方程输入的是右边画出了相应直线.数形结合可得出本题结果为

图6

通过以上初步介绍,相信大家对Desmos 有了一些的印象.在实际教学中,如果我们能依据具体问题,适当选用这一工具,一定会收到良好的教学效果.