试论代换法在高中数学解题中的应用

孙文敏

摘 要：随着新课改的贯彻与实施，素质教育越来越受到人们的重视，而以人文本的教学理念，要求高中数学教师在解题教学中，将侧重点放在传授学生解题思路和方法上面，代换法就是其中最常用的一种。通过对代换法的有效应用，可以帮助学生简化数学题目，减低解题难度，提高学生的数学解题能力和效率，是促进学生在数学教学中实现全面发展的有效途径。本文主要结合自身多年的教学经验，对高中数学解题教学中，最常见的代换类别进行了简单的分析探讨。

关键词：代换法;高中数学;解题教学;应用策略

引言

在高中数学教学中，使用多样化的代换法进行解题，不仅能够简化题目内容，降低题目难度，还可以拓展学生的解题思路，激发学生的发散思维，由此可见，灵活掌握代换法的运用方法和规律，对促进学生的综合发展有着至关重要的推动作用。

一、代换法的概述

代换法是数学解题中最常用的一种解题思路，利用代换法，学生可以在面对复杂数学问题的时候，通过数学知识点之间的内在联系，对题目中的数量关系进行适时转化，将问题简单化，进而有效提高学生的解题效率。代换法在高中数学的解题中，主要有三角代换法、等量代换法、变量代换法、比值代换法等，通过对代换法的灵活运用，不仅可以加强学生的解题能力，还可以锻炼学生的思维能力，促进学生的综合发展。

二、代换法在高中数学解题中的有效应用策略

（一）三角代换的应用

三角代换法是高中数学解题教学中运用比较广泛的一种代换思维，通过数字表达与三角表达形式的相互转化，可以帮助学生将复杂的问题简单化，利用三角式的证明和解答，降低代数式的解题难度。

例如，在求解高中函数        取值范围的时候，首先要对题目进行分析，通过观察可以发现该函数的定义域与正弦函数的值域是相对应的，因此，教师可以引导学生套用正弦函数公式        ，将代数函数转化成三角函数，即            ，最后通过对三角函数的计算，得到最终   的值域。

（二）等量代换的应用

等量代换指的就是用一种量来代替与之相等的另一种量，主要应用在解决高中数学概率型题目过程中。而等量代换法的有效应用，不仅需要学生具备较强的计算能力和清晰的解题思路，还需要学生拥有较强分析、概括的能力，从而能够将复杂的概率问题进行简化，降低解题难度。

例如，超市在开展抽奖活动的时候，在箱子里放了10个大小、形状都一模一样的小球，其中8个红的，2个白的，每位顾客一次可以从中摸2个球，那么顾客摸出来2个都是白球的概率是多少？

在解题过程中，首先设置题目的未知量，即摸出2个白球的概率，可以用  来表示，然后运用组合的计算形式，计算方程式       ，最终得出概率为0.02222。那么几天后活动继续，小球没有变，只是磨掉了球上的数字，那么此时一次摸出2个白球的概率是多少呢？可以用  来表示，假设个体有区别，对题目的运算产生的影响，然后代入等量代换，会发现影响最终概率结果的只会是小球的颜色而不是号码，最终得出      的结论。

（三）变量代换的应用

所谓的变量代换，指的就是在解题过程中，利用变量的代换，对复杂数学问題进行转化，寻找易于求解的方法。在高中数学解题教学中，变量代换法是最常用的一种代换方式，可以应用在函数求解、证明计算等多种数学题目中，帮助学生脱离复杂题目的困惑，通过简化计算过程，实现阶梯效率的提升，同时还可以锻炼学生的发散思维能力，培养学生的问题分析能力和解决能力，为学生的综合发展提供有效动力。

例如，在解答不等式证明题：已知m>1，n>1，p>1。求证         。通过分析不难发现，直接证明的解题方式在该题中并不适用，教师可以利用变量代换的方式，将题目中的变量进行转化，用以简化计算过程，如用χ代换m-1，用 y代换n-1，用z代换p-1，得出             ，已知条件中表明m，n，p均是大于1的，所以可以得出结论

都大于0，然后将变量代入不等式左侧，可以得出                ，通过计算得到最终结果证明，      是成立的。

（四）比值代换的应用

比值代换指的就是题目中已知条件或所求量与变量之间存在比值关系的时候，可以利用比值代换实现对问题的简化，进而有效提高学生的解题效率，全面实现学生解题能力的提升。

例如，在解答直线方程题目的时候，已知该直线过点（-3，5，9），并与另一条直线L1/L2相交，其中         ，而          ，那么该直线的方程式如何表示。在解题过程中，首先假设该直线方程为          ，然后令其等于t，将运算所得的   代入到L1中，得到（m-3I）=1n=2I，在令其等于s，得到              ，再将所得的   代入到L2中，利用倒推法最终得出m-4I/n-5I=6，再对其代入n-2I，得出m=22I，最后令I=1求得m=22，n=2，由此可知该直线方程为           。

结语

综上所述，在高中数学解题教学中，代换法是最常见，也是最有效的解题方法之一，不仅能够帮助学生简化题目、梳理思路，还能够锻炼学生思维能力的发散性和敏捷性，通过对多种代换形式的灵活掌握和有效运用，可以达到化繁为简、化难为易的其妙效果，进而有效提高学生的解题水平和能力，增加学生对学习数学的自信心，激发学生的学习兴趣和积极性，进一步促进学生综合数学能力的提升与发展。

参考文献：

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[2]张德民.探讨高中数学变量代换的三种方法[J].中学数学教学参考，2017（21）：68-70.

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