妙用函数思想，巧解数学难题

陈奕冰

【摘要】解题是运用数学知识的重要途径，也是高考对数学知识考查的主要形式，但是高中数学知识的抽象性和复杂性决定了数学问题具有一定的难度，只有运用科学的思想和方法才能快速、准确地解题.函数思想是数学思想方法的重要内容，我们可以充分利用函数思想来解决数学难题.本文从利用函数思想解决方程式问题、不等式问题和数列问题三方面出发，总结和归纳了利用函数思想解决数学难题的有效方法，希望能够为广大高中生提供有益的经验借鉴.

【關键词】高中数学;函数思想;数学难题

解决数学问题是我们学习数学的重要内容，也是实现知识运用的有效方式，而能够快速、准确的解题还取决于我们是否拥有清晰的解题思路、解题技巧和科学的解题思想.但是目前我们在数学解题的过程陷入了“题海”之中，走入了盲目做题的误区，却并没有掌握科学的解题思想和正确的解题思路.函数思想作为数学科学思想方法的重要内容，有利于我们解题思路的形成和解题效率的提升.因此，我们必须理解函数思想、掌握函数思想本质，并将其运用到数学难题的解决过程中，从而为数学学习提供不竭的动力.

一、妙用函数思想，解决方程式问题

方程式问题是我们在高中数学学习过程中所常见的数学问题之一，当遇到存在多个未知数的情况，往往便会使整个问题变得复杂.这时，我们便可以巧妙利用函数思想来解决方程式问题.具体来说，我们首先可以根据题目来写出解析式，当得出数式的类型后，利用函数思想对方程式进行相应的解析，首先可以把函数式当作一个已知是零的数量，然后将其转化为方程式，或者对方程式的两端进行相应的简化.当遇到较为复杂的方程式问题时，便可以先对方程式进行移项，然后根据数式来建立函数图像，从而根据图像来实现问题的解决.

例如，以“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0

二、巧用函数思想，解决不等式问题

不等式直观反映了事物在量上的区别，是研究数量关系的重要途径，也是数学问题的基本内容之一.不等式问题也可以通过函数思想来解决，所以，我们在不等式的解题过程之中，要利用函数思想仔细分析问题的内容和给出的条件，进一步地利用已知条件来分析整个函数不等式的问题内容，从而实现不等式或者等式之间的联想转换，并利用函数图像来直观表示出根的分布区间，从而降低不等式的解题难度，节省大量的计算时间，提高解题的效率和正确率.

例如，以“设a>0，求函数f（x）=x-ln（x+a）（x∈（0，+∞）的单调区间），”这道题为例，当我看到这道题后，我首先对这道题题干中的信息展开了分析，我发现这道题实际是考查导数的概念和计算，使用导数研究函数的性质.找到解题思路后，我便开始对这道题进行求解，根据函数思想，想要求解函数的单调区间，我们必须求出函数中不等式的解，即f′（x）≥0（递增）以及f′（x）<0（递减），然后在分部对不等式进行分析，如当a>0，x>0时，分析f′（x）的取值范围;当a>1，对所有x>0时，分析f′（x）的取值范围.然后再将所有分析结果进行整合，求出最终结果.

三、利用函数思想，解决数列问题

数列问题通常需要我们去发现其中的规律，如果不能准确把握其中所蕴含的规律就很难解决问题，这便为我们解决数列问题带了一定的难度.因此，我们可以利用函数思想来解决数列问题，将数列中的每一个项都看作是项数的函数，在求解的过程中将数列的变化和分布图用函数图像展示出来，从而更加直观地发现数列的变化和求解规律，从而大大节省了计算和寻找数列规律的时间，提高数列求解的速度.

例如，以“设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+122，n∈N，若bn=（-1）n×Sn，求数列{bn}的前n项和Tn”这道题为例，这道题是以“等差数列”这一条件为线索，运用函数方程思想来求解数列{an}的通项an，在求解数列{bn}的前n项和时，我们可以通过化简、变形把一般数列的求和问题转化成等差数列的求和问题，以提高我们的解题效率.

总之，函数思想是数学思想方法的重要内容，是能够帮助我们理清解题思路、提高解题效率的有力武器.因此，作为高中生我们要理解函数思想并掌握函数思想的本质，利用函数思想来解决方程式问题、不等式问题和数列问题等各种数学难题，从而有效拓宽我们的解题思路、优化解题思想、提高解题技巧，使数学难题都能够迎刃而解.

【参考文献】

[1]王湛茹.关于数列解题方法的学习探讨和体会[J].学周刊，2018（32）：78-79.

[2]王翰文.基于“转化与化归”思想的高中数学解题研究[J].华夏教师，2018（23）：71-72.