关于连续原根的分布

刘华宁， 景梦谣

(西北大学 数学学院， 陕西 西安 710127)

命题1(Szalay)设p为素数,并定义

M(p,l)=#{x:x∈Gp,…,x+l-1∈Gp}。

则有

其中d(p-1)表示p-1的正因数的个数。

Tanti和Thangadurai[10]改进了上面的结论。

命题2(Tanti和Thangadurai) 设l≥2为正整数。 则对任意素数p≥e25.54l,都存在模p的l个连续原根。

此外,设A,B⊂Zp,A∩B=∅,I={M+1,M+2,…,M+N}⊂{1,2,…,p},并设N(A,B,p,I)表示I中使得对所有a∈A都有n+a∈Gp,以及对所有b∈B都有n+b∉Gp的n的个数。Cobeli和Zaharescu[11]证明了

Cohen等人还考虑了在一般有限域中的情形[12-16]。

1 主要结论

本文将给出上述结果的一些推广。主要结论如下。

定理1设p为素数，f(x)∈Fp[x]的次数为D≥1。l1,l2,…，lk是Fp中互不相同的元素。定义

M(f,l1,…,lk;p)=#{n:1≤n≤p,f(n+l1)∈Gp,…,f(n+lk)∈Gp}。

假设下列条件至少满足一个:

(i)f(x)不可约；

则有

其中ω(q)表示q的不同素因子的个数。

推论1设p为素数，f(x)∈Fp[x]的次数为D≥1。设整数k≥2,并设l1,l2,…，lk是Fp中互不相同的元素。 假设下列条件至少满足一个:

(i)f(x)不可约；

则对任意素数p>max{e23k,(kD)27},都存在n∈Fp，使得

f(n+l1),f(n+l2),…,f(n+lk)

都是模p的原根。

定理2设p为素数,A,B⊂ZP,A∩B=∅,I={M+1,M+2,…,M+N}⊂{1,2,…，p}，f(x)∈Fp[x]的次数为D≥1。设N(A,B,I,f;p)表示I中使得对所有a∈A都有f(n+a)∈Gp,以及对所有b∈B都有f(n+b)∉Gp的n的个数。假设下列条件至少满足一个:

(i)f(x)不可约；

则有

2 多项式特征和的估计

我们需要下面的一些引理。

引理1设f(x)∈Fq[x],d|q-1,χ为Fq的d阶非主特征。设f(x)≠a·hd(x),a∈Fq,h(x)∈Fq[x],且f(x)在其分裂域内有t个不同的根。则有

证明见文献[17]第43页。

引理2设p是一个素数,χ是模p的d阶非主特征。设f(x)∈Fp[x]且f(x)≠a·hd(x),其中a∈Fp,h(x)∈Fp[x]。设s表示f(x)在其分裂域内不同根的个数,实数X,Y满足0

证明见文献[17]第51页。

h(x)=fδ1(x+l1)…fδk(x+lk)

假设下列条件至少满足一个:

(i)deg(f)

(ii) (4k)deg(f)

则h(x)不能表为任何多项式的d次幂的常数倍。

证明参阅文献[18]。

3 定理1和推论1的证明

注意到

(1)

M(f,l1,…，lk;p)=

M1(f,l1,…lk;p)+M2(f,l1,…lk;p)。

(2)

容易证明

(3)

另一方面,设ψ为模p的特征群的生成元,可得

M2(f,l1,…lk;p)=

(4)

情形1假设f(x)不可约。显然

是p-1次幂的常数倍当且仅当

由于d1…dk>1，因此上式不成立。则由引理1，有

|M2(f,l1,…，lk;p)|≤

(5)

(i)D

(ii) (4k)D

则由引理3可知

不可能是p-1次幂的常数倍。再由引理1可得

|M2(f,l1,…,lk;p)|≤

(6)

现在结合式(2)～(6)立得

这就证明了定理1。

接下来证明推论1。根据定理1，有

M(f,l1,…，lk;p)≥

此外由文献[19]中的167页可知，对所有素数p≥5都满足

设p>max{e23k,(kD)27}。容易证明

M(f,l1,…，lk;p)>0

⟸logp>2log(kD)+2klog2·ω(p-1)

上式成立,从而证明了推论1。

4 定理2的证明

现在证明定理2。首先考虑特殊情形B=∅,此时A不为空集。记A={a1,…，as},则有

N(A,I,f;p)=

N1(A,I,f;p)+N2(A,I,f;p) 。

(7)

容易证明

(8)

另一方面,设ψ为模p的特征群的生成元,可得

N2(A,I,f;p)=

由引理3可知

不可能是p-1次幂的常数倍。再由引理2可得

N2(A,I,f;p)≤

(9)

现在考虑一般的B。记

可得

N(A,B,I,f;p)=

(10)

再由式(8)，有

(11)

另一方面,由式(9)可得

N2JB(A∪C,I,f;p)≤

(12)

因此,

(13)

此外还有

9|A∪B|D

(14)

结合式(13)和(14)立即可得

定理2证毕。