浅谈元素结构法在数学解题中的应用

刘彦芳

摘 要：数学解题是数学学习的重要组成部分，华罗庚说过：学习数学不做题目，等于入宝山而空返。首先，解题是数学学习的核心内容；其次，解题是撑握数学，学会数学思维的基本途径；最后，解题是评价学习的重要方式。而元素结构法在数学解题中起着举足轻重的作用，它将会改变大多数人在解决数学问题时的一种固有思维模式，即例题+模仿+实际练习的模式，从而使数学问题得以解决。

关键词：数学解题；元素结构法；数学思维；数学模型

一、元素结构法的意义及地位

数学解题在数学学习中发挥着巨大的作用。它是对人智力和思维的一种挑战，是对没有现成直接方法的探索，简言之就是找出题解的活动。数学解题在数学学习中应用很广，小至学生算出数学习题的答案，大至一个数学课题的结论。并且在新课程背景下的解题应改变过去那种只注重结果，强调结果的确定性的模式，转变为注重解题过程中解题者寻找问题答案的过程，而这正好是元素结构法所说的寻找元素建立结构的过程。

数学解题中我们经常听到有许多方法，如图示法、列举法、构造法等。但这些方法都只能解决某些特殊类型的题目，而元素结构法则适用于任意数学问题的解决，因为它是运用基本的数学思想来直接分析和解决数学问题。并且解题过程中的每一步都蕴含着一定的科学原理，因此解题者只要牢牢抓住这些原理，就不会有解不出来的数学问题。

元素结构法是数学解题中应用一般的、直接的思维方式，通过分析具体的命题，寻求其中的元素，在元素与元素之间建立一定的结构。由于数学是理性学科，其中数学解题中的每一步都有一定的数学依据，因此在解数学题时只要根据题目中的元素结构特征，利用各种知识之间的内在联系和形式上的某种相似性，通过已知元素和未知元素之间建立一种数学结构模型，从而使问题得以解决。这种方法适合任意阶段的数学学习，尤其在中小学时期最为重要，这是因为它是通过直接思维的方式交给解题者如何分析题意进行解题，这样可以增加学生对数学学习的兴趣，提高学生的创造思维，它在数学解题中的作用不亚于欧几里德公理在几何中的作用。

二、元素结构法的举例应用

例1.三个相邻的偶数之积是四位数，其末位是8，求这三个偶数？

分析：已知元素是三个相邻偶数的乘积是四位数，该四位数的末位是8，未知元素是这三个相邻偶数。

因而解题者可以用直觉思维估计一下这三个数的大致范围，再根据已知条件分析它们之间的内在联系，从而求出这三个偶数。

解：由于三个相邻的偶数之积是四位数，而10×10×10=1000，22×22×22=10648，因此可以大致知道这三个数在10到22之间，即可能的取值是10、12、14、16、18、20、22，同时由于这四位数（三个偶数的积）的末位数是8，而10到22间的这几个数中只有2、4、6的乘积为8，从而命题得解，这三个偶数分别是12、14、16。

例2.姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟40米，走了80米后姐姐去追弟弟。姐姐每分钟走60米，姐姐带着一条狗每分钟跑150米，小狗追上弟弟后又去找姐姐，碰到姐姐后又去找弟弟。这样来回地跑，直到姐弟俩相遇，小狗才停下来，问小狗共跑了多少米？

分析：本题由于来来往往牵连的元素较多，因此在元素结构的构建过程中须进行选择性提取，显然这是一道关于追及问题与一般路程的结合问题。

由于已知元素有弟弟、姐姐与小狗三者的速度；姐弟俩出发时间差，即80÷40=2（分钟）；小狗所走的路程情况。未知元素是小狗在停下来时共走的路程，而路程=速度×时间。

解：根据题意可知，姐弟俩出发时间差，即80÷40=2（分钟）；

姐弟俩的速度差=60-40=20米/分；

姐姐追上弟弟的时间为80÷20=4（分钟）；

因此小狗跑的路程为150米/分×4分=600（米）。

至此，该问题通过4次应用元素间结构构建，使命题得以解决。

三、元素结构法的不足及改进

元素结构法是数学解题过程中分析题意的有力工具，无论任何复杂的数学问题，只要系统到每个元素，就必然能在两个或两个以上元素之间寻求联系，建立相应的结构模型，从而使问题明显化，简单化，最终通过元素结构法使问题得以解决。但是任何事物都具有两面性，因而元素结构法也存在着不足之处，这主要是由于现代解题模式受到程式化解题模式的影响，使解题者只知道模仿，而不去仔细分析问题，甚至不知道如何从题目中找出已知条件和未知条件之间的关联，即不知道如何应用元素结构法分析和解决数学问题。面对这种情况，我们应该从小就养成应用元素结构法解决数学问题的习惯，这就要求我们的老师尤其是在中小学阶段要注重引导，教会他们如何应用元素结构法分析和解决问题。只有这样，才能使元素结构法真正用于数学解题，真正培养学生的独立自主和创造性思维。

參考文献：

[1]波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

[2]何小亚.解决数学问题的心理过程分析[J].数学教育学报，2004（3）.

编辑 王 敏