弱不可约严格α-对角占优矩阵的表征及应用

邢 峰

1 引言与定义

利用矩阵的对角占优性给出非奇异H-矩阵的判定是许多学者关注的问题，文献[2]-[4]给出了利用Ostrowski定理及连对角占优性判定非奇异H-矩阵的最新成果，文献[1]又利用按环路α-连对角占优矩阵的理论，给出了若干判定非奇异H-矩阵的条件，本文继文献[1]之后，也是利用按环路α-连对角占优矩阵的理论，给出若干实用的判定非奇异H-矩阵的新条件，改进了以往的某些结果，并用实例说明其有效性。

设A=(aij)∈Cn×n是n阶复矩阵，N={1,2,…,n}，记

本文用Γ(A)表示A的方向图,用V(A)表示Γ(A)的顶点集合，用C(A)表示Γ(A)中所有非平凡环路的集合，并且约定，若Γ(A)的某个顶点i在环路v中，则记i∈v

本文对任意固定α∈[0,1]还记

VC(A)={i∈V(A)|i∈v∈C(A)}

定义1[1]设A=(aij)∈Cn×n，若V(A)=VC(A)，则称A为弱不可约矩阵，记作A∈WI

定义2[1]设A=(aij)∈Cn×n∩WI，若对某α∈[0,1]有C(A)=JC(A)，则称为弱不可约严格α-对角占优矩阵，记作：A∈WDα

定义3[1]设A=(aij)∈Cn×n，若|aii|>Pi(∀i∈N),则称A为严格对角占优矩阵，记作A∈D;若存在正对角矩阵X,使AX∈D,则称A为非奇异H-矩阵。记作A∈H。.

当A=(aij)∈Cn×n时，记

则有C(A)=N1∪N2∪N3∪N4∪N5∪N6

为书写方便，本文特约定

则知αi>1;βi>1;xj>1;yj>1。

2 基本结果

引理1[1]设A=(aij)n×n∈WDα,则A∈H。

定理1 设A=(aij)n×n∩WI，则A∈WDα的充分必要条件为N6=φ,且∀vi∈N1，∀vj∈N2有

logαiβiβi+logxjyjyj<1 ，

(1)

证明 充分性，由(1)式得 logxjyjyj<1-logαiβiβi，

因为αi>1，βi>1，则αiβi>βi，由此知0

则知存在充分小的正数ε，使0

logxjyjyj<1-(logαiβiβi+ε)，

(2)

令α=logαiβiβi+ε，知0<α<1，且有

α>logαiβiβi，

(3)

再由(2)式又有 logxjyjyj<1-α

综上，再由N6=φ知A∈WDα。

必要性，若A∈WDα，则易见N6=φ，且由∀vi∈N1

由此得

logαiβiβi

(4)

由此得

logxjyjyj

(5)

把(4)和(5)式两端分别相加即得(1)式。

推论1 设A=(aij)n×n∩WI，则A∈WDα的充分必要条件为N6=φ,且∀vi∈N1，∀vj∈N2有 logαiβiαi+logxjyjxj<1

证明 因为∀vi∈N1，∀vj∈N2有以下等式成立

logαiβiαi+logαiβiβi=1 logxjyjxj+logxjyjyj=1

则知logαiβiαi+logxjyjxj<1的充分必要条件为logαiβiβi+logxjyjyj<1

则根据定理1知结论成立。

定理2 设A=(aij)n×n∩WI，N6=φ,若∀vi∈N1，∀vj∈N2有

logαiβiβi+logxjyjyj<1，则A∈H.

证明 由定理1的充分性知A∈WDα，再由引理1知A∈H.

推论2 设A=(aij)n×n∩WI，N6=φ,若∀vi∈N1，∀vj∈N2有 logαiβiαi+logxjyjxj<1 则A∈H。

证明 由推论1知A∈WDα，再由引理1知A∈H。

定理3 设A=(aij)n×n∩WI，若N1∪N6=φ,则A∈H。

证明 若N2≠φ,因为∀vj∈N2，有xj>1;yj>1

则xjyj>xj，故0

(xjyj)α<(xjyj)logxjyjxj=xj

综上知A∈WDα。

若N2=φ，则知C(A)=N3∪N4∪N5,自然有A∈WDα，则A∈H。

定理4 设A=(aij)n×n∩WI，若N2∪N6=φ,则A∈H。

证明 若N1≠φ,因为∀vi∈N1，有αi>1;βi>1，则αiβi>βi，故0(αiβi)logαiβiβi=βi

综上知A∈WDα.。

若N1=φ，则知C(A)=N3∪N4∪N5,自然有A∈WDα，则A∈H。

3 数值实例

这里|a11|=3，|a22|=2.5，|a33|=2；P1=3，P2=2.5，P3=1.5；R1=3,R2=1.5,R3=2.5

综上知A∈WDα，则由引理1知A∈H。

但文献[1-5]中的一些主要定理却不能判定A是非奇异H-矩阵。