不愤不启 不悱不发——从一道导数压轴题的解题教学谈起

广州大学附属中学 (510050) 韩智明

我国著名教育家孔子说：“不愤不启，不悱不发.”意思是不到他努力想弄明白而得不到的程度不要去开导他；不到他心里明白却不能完善表达出来的程度不要去启发他.我想我们的数学教学活动特别是解题活动也应该如此，正如孔子又说：“举一隅不以三隅反，则不复也.”意为：“如果他不能举一反三，就不要再反复给他举例了.”在大量的教学活动中，如果通过大量的变式练习还不能让学生掌握和理解，就应该反思和改进我们的教学方法和策略了.下面这道习题是一道高三复习备考导数压轴题，我在课堂习题讲解的过程中伴有曲折、疑惑和惊喜诸多情感成份，现与大家一起分享.

试题已知函数f(x)=axex-(a+1)(2x-1).

(1)若a=1，求函数f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案是这样给的：

解法1：(1)问略：

法①：由题意，得f′(x)=a(x+1)ex-2(a+1).令f′(x)=h(x)，则h′(x)=a(x+2)ex在x>0时恒为正数，∴函数h(x)即f′(x)在(0,+∞)上单调递增.而f′(0)=-2-a<0,f′(1)=2ea-2a-2≥0，∴f′(x)存在唯一根x0∈(0,1]，且函数f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，∴函数f(x)的极小值也是最小值为f(x0)=ax0ex0-(a+1)(2x0-1)，故只需f(x0)≥0即可.

当老师们看到第(2)问这种解法后，感到方法巧妙地同时又有点蒙的感觉，学生看到后更是百思不得其解，共同的疑惑是为什么要取值1，而不是其它的数，而且代入1正好是参数a的取值范围，这其实就是证明不等式恒成立时所运用的一种证明方法，即必要性探路法.纵观各种教辅资料关于运用必要性探路法证明不等式恒成立问题的时候，从来都没有把证明过程说清楚，代什么数？为什么代某个数正好得到参数范围？都是给出答案的人在幕后操作，很少走向前台，有些老师少于研究不知个中缘由，更不要说接受教育的学生了.于是见到这种方法解题，多数老师直接避开或寻找其它的解题方法了，甚至教育学生不要用这种不好解释的方法解题，放任学生的一片迷茫.我当然也是一样，准备转战其它“战场”寻找更通俗易懂的方法去解决，然而几个平时数学基础较好的学生在下面则要求弄懂为什么？

图1

这时我们画出两函数图像如图1可知，当x取1时显然是两条曲线的临界点，如果x取其它值得到的a的取值范围则是当x取1时得到a的取值范围的子集，故在本题中x应该取1，只是出题人隐去了这一思维步骤，这种方法叫做必要性探路法，即在进行一个数学问题转化的时候主要特别注意问题的等价性，也就是需要同时考虑充分性和必要性.但很多时候，为了寻找突破口(尤其是突然有个猜想)时，往往需要先利用必要条件(或充分条件)探路，然后验证其充分性(或必要性)，这种方法主要用在证明恒成立问题当中.

同学们听了只这种解释，脸上有赞叹，有惊喜但更多地是茫然.

生2：那今后我们是不是遇到恒成立问题，首先想到用这种方法处理呢？

师：我觉得这种方法不是通解通法，在解题时最好慎用！其实根据这种解法，先用必要性探路找a的取值范围时，做题之前是要做很多铺垫的工作，当确定a的范围后，第二步就只要证明其充分性满足就可以了，其本质是切线放缩和寻找切点的问题，下面我给出证明充分性的第二种证法.

法②：由f(x)=axex-(a+1)(2x-1)得f(x)=a(xex-2x+1)-2x+1.

令N(x)=xex-2ex+e，∵N′(x)=(x+1)ex-2在(0,+∞)上单调递增.由N′(1)=0易知

师：第二种解法主要是证明a的系数为正数，然后根据a的范围进行放缩得到证明.(这时候学生思维气氛较活跃)是不是我们看到这种解法，此题就没有其它的解法呢？这种方法虽然巧妙但是操作性不强，其实在解决有关恒成立问题时还是有很多方法的，当运用某种方法处理数学问题思维受阻时，要勤于思考，尝试改变思维方式.

生3：我直接构造函数处理，发现求导后非常复杂，看到上面第二种解法后受到启发，直接把有关a的系数分离，运用参变分离法处理也是可以的.

师：很好！参变分离法是解决恒成立问题常用的方法，于是得到解法2.

解法2：(1)问略：

生4：我刚才也是这么想的，但是看到分母太复杂，计算量挺大，没有信心计算下去，原来还是可以的.

师：既然生4感慨生3的解法计算量太复杂，那我们再思考一下，有没有可以简化计算的方法呢？

生5：由前面解法中得到a的范围是正数，如果能先证明出a是正数的话，分参就可以重新组合就可以简化计算.

师：是个很好的思路，继续看看是否有其它方法.

生6：我们可以通过通过取x的某些值使得当a≤0不恒成立，来限定a的取值范围.

师：精彩！这样的话我们就我们就可以把不等式中的与参数a有关的整体通过重新组合完全分理出来，这样一来所构造的函数就会显得简单，便于计算，下面看解法3.

解法3：(1)问略：

(2)由题设条件知，当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，即axex≥(a+1)(2x-1)对任意x>0恒成立.

①当a=0时，取x=1，不等式不成立，故a≠0；

看到这种解法，课堂上气氛高涨，很多同学觉得这种解法避开复杂的计算，使问题显得简单、操作性强且容易接受.

生8：这种解法的本质与解法3的处理策略是一样的，不过也不失为一种好方法.

师：非常好！生7的解法也属于化繁为简的参变分离思想，也同样易操作、容易被大家接受和学习！(这时响起热烈的掌声！我想这掌声不只是为某位学生或是某种解法，而应是为这种通过思考和启发唤醒大家思维的模式.)生7的解法如下.

解法4：(1)问略：

分类讨论：

师：这种方法很妙！通过重新组合构造函数证明不等式，也是一种重要的思想方法，结合函数图像转化和揭示参数所隐含的几何意义去求解，此法重在结合图像，要通过数学语言说清楚才是，下面根据生9的思路给出解法5.

解法5：(1)问略：

令m(x)=(x+1)ex，则由m′(x)=(x+2)ex>0知m(x)在(0,+∞)单调递增.

图2

如图2，可知g(x)在(0,+∞)单调递增且是凹函数.

师：通过大家对此道习题的分析，以上五种方法其实就是解决恒成立问题的思想和方法，我们一起来归纳一下：①利用必要性探路法；②直接一阶或n阶求导后分类讨论(此题较为复杂)；③直接参变分离法；④重新组合构造函数再进行参变分离；⑤变形构造函数通过数形结合.其实在面对一道习题的某种解法或某个问题，我们要找寻破解的突破口，分析题设结构，合理变式思考，善于变通解题思路，就会打开解题活动的阀门.

反思：通过这堂解题方法探究课，我有深刻的体会.我们在课堂上进行数学教学活动特别是数学解题教学活动时，其中一个首要任务就是教会学生怎样思考问题，怎样审题、怎样寻找解题的突破口以及灵活变通.也就是说在解题教学的课堂上，当学生遇到一个陌生的数学问题或是看到某个难题的奇妙的解法弄不懂时，作为教学的组织者，我们除了传道、授业以外，解惑也是一个非常重要的环节.在高三后期的复习备考中，训练的综合性让试题的难度和深度都有加大，特别是一些压轴题的解题思路不容易发现甚至给学生不好讲解，有些试题的解决处理方法多种多样，当遇到这种情况的时候，某些教师严格遵循复习资料的参考答案，拘泥于参考答案的方法，让学生限于机械被动的接受学习中，缺乏解题前的准备，双方的互动和活动铺垫不够，对学生的能力和知识储备不了解，也就是说没有认清学生已经具备的认知结构，这样就根本就不能达到训练学生解题思维的效果，结果是当学生在每次遇到这种问题时仍然是一筹莫展.

“帮助学生学会数学地思维”是我们进行数学活动的核心所在，即在数学问题的解决过程中帮助学生理解数学问题的本质，要让学生学会用数学的思维思考问题，只有我们老师自己从观念上明白了所教授的数学问题的内容和本质，才能教给学生真正的数学，才能站在教学研究的制高点，准确把握数学学科的本质，才能知道学生什么时候需要和需要什么的问题，才能成为数学教育功能的执行者和传播者.

一堂好的数学解题活动课堂不应该是平淡的，特别是对一道精彩习题的解法探究活动更不能是暗淡无趣的.它应该是在老师的启发和引导下激发学生无限的思考，让鲜活、灵动的数学思维弥漫整个数学活动的空间，空间中我们需要有问题的悬念、思维的冲突和顿悟后的欣喜.在解题的课堂，老师无需按照自己事先设定的程序行走，应该遵循学生思维的发展进程，及时发现学生的“误”和“惑”，通过师生双方参与对解题策略和方法进行思考和启发，防止学生思维僵化和在一条路上走到黑.在看似就要达到解决问题的彼岸但却遇到百思不得其解的困难之时，教师恰到好处地从处理策略或思维方法的高度进行点拨，就会点燃学生思维的火花，就会让学生学会数学地思维方法，感受数学思维逻辑的无穷魅力，也才能真正达到大教育家的“不愤不启，不悱不发”的教育境界.