回到师生共长的“起点”处——听“认识三角形的高”一课有感

◇罗超海 李利娥

教学片段一：

大屏幕出示图1。

图1

师：图中画的是什么，你们见过吗？

生：见过，这个像农村房子的屋顶。

师：这种屋顶所用的梁，我们把它称为“人字梁”。人字梁的屋顶之所以做成三角形，就是因为三角形在众多多边形结构中最稳定、最牢固，而且这样设计，更有空间感和立体感。

师：如果要测量这个人字梁的高，你认为应该从哪里量到哪里？实际上就是测量图中哪条线段的长？同桌可以轻声讨论一下。

生1：就是量中间最长的那条线段。

生2：就是从这个人字梁上面那个顶点到下面这条边的垂直线段的长度。

师：现在，我们把这个人字梁所表示的三角形画下来，从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂直线段，这条垂直线段就是三角形的高。

（教师边讲解边在黑板上画三角形及其高，标上直角标记，并在所画线段的旁边标出“高”字。然后指出：这条对边就是三角形的底。在图中写上“底”字，指名学生回忆刚才画高的过程，说一说什么是三角形的高，什么是三角形的底。接着，教师出示“小试牛刀”。如图2）

图2

学生完成后组织反馈交流。在交流图2 第二个三角形底边上的高时，教师展示了几幅学生作品（如图 3）。

图3

教师引导学生讨论辨析时，一生高高地把手举起，并示意老师叫他。

生1：老师，我发现画三角形的高，其实与上学期我们学习过的有个知识差不多。

师：哪个知识？

生1：就是过直线外一点画已知直线的垂直线段。你看，我们把这个三角形其他两条边忽略，留下底，跟这个底相对的顶点就是上面这个点，过这个点画下面底的垂直线段，就是这个底的高。

生2：不对，这个垂直线段的垂足不在底上。

生1：这个底可以延长啊，把它看作一条直线就可以了。 我刚刚在作业单上画了， 你们看。（如图 4）

图4

师：那你能到前面来一边展示一边讲给大家听吗？

生1：我先画一条直线，然后在直线外画一个点A，过这一点作这条直线的垂直线段。再在直线上截取一条线段BC 当作三角形的底，将点A 分别与B 点、C 点连起来， 这个三角形就像老师给的左边那个三角形。我在这条直线上再取一个点 D，把 A 和 D 连起来，那么三角形 ACD 就像右边这个三角形。我刚刚画的垂直线段就是这两个三角形底边上的高。

师惊喜地问其他同学：你们听懂了吗？

……

【启发与重建】

本案例中，教师根据教材中测量“人字梁”的高度这一现实情境，引导学生感知三角形的底和高，并由此抽象出三角形底和高的概念。在练习设计上，教师认识到作高特别是作指定底边上的高是一个难点，所以有意延伸，除了教材上作三角形的高（在三角形内），还补充了一道题，作三角形的高（在三角形外）。反馈交流时发现，学生要么没找着顶点就画， 要么搞不清谁是底边，要么画得不够垂直（如图3）。究其原因，教材中高的定义比较难理解，在教师的“细致”讲解过程中，学生对什么是对边、如何向对边作垂线等问题，可能是越学越糊涂，越练越混淆。而生1 发现和采用的方法，巧妙地将新知转化为旧知，即画高时可以“忽略”其他两条边，按照之前已掌握的 “过直线外一点画已知直线的垂直线段”的技能操作，这样“顶点”“对边”自然呈现，难点迎刃而解。

受此启发，笔者对“认识三角形的高”进行了教学重建。

教学片段二：

1.在作业单上按要求画一画。

要求1：过A、B 两点画一条直线。

要求2：过直线外一点C，画出点C 到直线AB 的垂直线段。

要求 3：连接 AC、BC，用彩笔描出三角形ABC。

图5

2.让学生用自己的语言说一说三角形是怎么形成的， 并在此基础上概括总结出三角形的定义，明确“边”“顶点”概念的同时，告诉学生这时线段AB 又叫作三角形的底，从顶点C 到AB 画的垂直线段又叫作高，从而抽象出“底”和“高”的概念。

3.教师提问：你觉得这个三角形另外两条边上有高吗？ 你觉得BC 边上的高应该怎么画呢？从哪个点出发？AC 边上的高怎么画呢？（学生交流后独立完成，展示评讲）

4.过点 C 画直线 AB 的平行线 l，在直线 l 上取一点D，围成直角三角形ABD，讨论AB 边上的高该怎么画。

5.在l 上取一点E，围成钝角三角形ABE，讨论辨析AB 边上的高该怎么画。

6.观察作业单上锐角三角形ABC、直角三角形 ABD、钝角三角形 ABE 中，AB 边上的三条高，说一说它们的相同与不同之处。

【思考】

美国教育心理学家奥苏贝尔说：“影响学习的最主要原因是学生已经知道了什么， 我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。”这就需要教师真正了解学生的学习起点在哪里，并基于此展开教学。

整体统揽，把握起点。教师要把握好学习的逻辑起点， 除了需要具有较完备的数学知识结构，还必须读懂教材的编排体系。在教学一个知识点前，教师应弄明白学生在此之前已经学过哪些相关的知识， 以后还要学习哪些相关的知识，了解知识的来龙去脉。上述教学片段一中，教师没有关注学生学习的逻辑起点，没有联想到四年级上册学过的 “过直线外一点作已知直线的垂线”这个知识点，只是照本宣科，缺少精心预设。

适度整合，二次开发。作为一线教师，应根据本班学生的真实起点，创造性地使用教材，适度调整，合理开发。比如“认识三角形的高”，教材给出的只有作锐角三角形的三条高， 即高在三角形内， 那么直角三角形的高和钝角三角形的高要不要涉及呢？笔者以为，高在三角形外这种情况虽然有难度，但只要巧妙设计，不但能降低知识点的难度， 还能在对比和辨析中强化高的意义以及高的各种情况之间的联系。 如教学片段二中，利用四年级上册学过的“两条平行线之间的距离处处相等”，让学生感知无论是什么三角形，作AB 边上的高都是从与它相对的顶点出发作垂线段，这是它们的相同点，所不同的是有的垂线段在三角形内， 有的与三角形的一条边重合，有的在三角形外。这样设计，将原本孤立的知识点连成线，让学生见木又见林。

反诘自我，提升教学力。教师虽然有意识地去关注学生的学习起点， 但不可能亲历学生知识形成的过程，因此，教学预设对学生的起点定位有所偏颇，不能“面面俱到”也是能理解的。所以，教师在课堂教学中，应该给足学生话语权，让学生有足够的时间和机会表达自己的想法，关注学生思维过程的同时有效利用、及时调整预案，关注知识的生长点，使之成为课堂教学的“正催化剂”。课后，教师还需要及时反思课堂教学，把精彩的生成充实进自己的教学素材，丰富教学内容，努力提高自己读懂学生、处理教材的能力，探寻自身教学力提升的生长点。