漫谈解析几何问题的解题策略

☉江苏省宜兴市和桥高级中学 吴艳炜

☉江苏省宜兴市和桥高级中学 缪泽娟

说到解析几何，给人的第一印象就是运算，烦琐的运算总是让人崩溃，因害怕运算而害怕解析几何的学生不在少数.笔者曾经做过一个试验，给学生出了两道题：一道是三角函数恒等变换求值的题目，另一道是解析几何中的定值证明题，要求学生择其一加以完成，结果全班学生不约而同地选择了三角函数恒等变换求值的题目，这足以看出学生是多么害怕解析几何中的运算.学生害怕的主要原因是什么呢？笔者又进行了调查.调查结果显示，他们主要害怕找不到解决解析几何问题合理的方法，因为方法不恰当导致计算无休止，导致“无功而返”.由此看来，教师教给学生知识的同时传授方法更重要，尤其是解析几何.如何让学生摆脱害怕解析几何的心理呢？笔者认为，教师应该多多传授解析几何的解题策略，让他们感受到解析几何的运算并非“狰狞恐怖”，而是有章可循的，方法得当，坚持运算，也可轻松达到成功.

一、教会学生立足定义，返璞归真

何为解析几何，就是代数化的几何.解题时，既要重视图形几何特征的挖掘，又要善于运用圆锥曲线的定义，以图形（数形结合）为指导，以定义应用为根本.这样既可简化运算，又可加深对圆锥曲线定义的理解.因此，教师在解析几何的习题教学中要不断渗透图形意识，不断加强定义意识，让学生感受到定义法的优越性.

例1如图1所示，F1、F2分别是椭圆b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

图1

（1）若|PF1|=2+，|PF2|=2-，求椭圆的标准方程；

（2）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e.

分析：解题思想：从椭圆定义出发求它的标准方程和离心率；解题方法：根据椭圆定义，构造三角形，进而直接计算a与c的值，或将其转化为含有字母a与c的齐次方程，从而算出离心率.

解：（1）根据椭圆的定义，有，故a=2.

设椭圆的半焦距为c，则PF2⊥PF1⇒△PF1F2是直角三角形，于是，即，所以b=.故椭圆的标准方程为

（2）如图1所示，连接QF1，根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，

由|PF1|=|PQ|，有|QF1|=4a-2|PF1|.

点评：一切数学性质或定理都源于数学定义，圆锥曲线也不例外.椭圆的定义其实就是一个恒等式，体现出数与形的关系，抓住这个定义，把定量计算与定性分析有机地结合在一起，能够帮助我们看清解析几何问题的本质，从而找到最快捷，最切实可行的方法.

二、教会学生利用图形，巧妙转化

如何实现几何条件代数化，关键在于充分利用图形.解决解析几何问题的一般思路或步骤是：先将图形中的各元素代数化，再通过代数运算得出结论，最后将结论“返还”解析几何.从这个过程中不难发现，解解析几何问题主要有两个任务：一是如何将几何问题代数化（思维能力），二是如何计算代数问题（运算能力），前者是基础，后者是保障，二者缺一不可.那么问题来了，如何将几何问题转化为代数问题？这就是我们教学的重点之一.我们应该引导学生主动地去理解几何对象的本质特征，教会他们善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来，并能恰当选择代数化的形式，要做到这一点，我们必须要引导学生在审题上下功夫.

例2假设椭圆满足椭圆上的三个点与椭圆的中心刚好构成正方形，那么这个椭圆的离心率是（ ）.

分析：解题思想：利用图形，数形结合；

解题方法：由图形（椭圆与正方形）的对称性特征，知正方形的对角线长就是椭圆的长半轴，并可以计算出如图2所示的正方形在第一象限内的顶点的坐标（用字母a表示），将其代入椭圆的标准方程，就可得到关于a，b的关系式，进而转化为关于a，c的关系式，从而求出离心率.这里用到了正方形对角线的性质：相等，互相垂直且平分.

图2

解：由题意知，点在椭圆上，将这个点代入椭圆方程，得，故选D.

点评：从本题的分析与解答看出，对图形特征分析的重要性.解答本题必须明确两点：第一是正方形的三个点在椭圆上的位置，有一个顶点必须是椭圆长轴的端点，若是短轴的端点就不可能构成正方形；第二是在椭圆上与椭圆的对称轴相交的弦的中垂线，一定不经过椭圆的对称中心，即

三、教会学生设而不求，消参归一

由于解析几何的运算比较繁杂冗长，学生往往会产生惧怕心理.在教学中，不难发现，提问学生如何解答这类问题时，他们往往能说会道，且句句在理，可一旦叫他们加以运算时，他们则磨磨唧唧，倒腾了半天也得不出结果.究其原因就是因方法不当而半途而废.所以在教学中，教师在课堂上不仅要让学生实战演习，还要培养学生运算的求简意识，以提高他们数学运算的核心素养.尤其是要教会他们“设而不求”和整体代换的解题技巧，让他们学会化难为易，化繁为简的技巧，从而走出烦琐计算的阴影，树立成功解题的信心.

例3如图3所示，已知椭圆，经过坐标原点O的直线与椭圆交于P，A两点，点P位于第一象限，过P作x轴的垂线，C为垂足，连接AC并延长与椭圆交于点B，设k是直线PA的斜率.求证：对于任意k＞0，都有PA⊥PB.

图3

分析：解题思想：用“设而不求”思想讨论与椭圆有关的直线的位置关系；解题方法：设直线PA方程，与椭圆方程联立，求出点P，A，C的坐标，先求出直线AB的方程，再求得PB的斜率，从而得到kPA×kPB=-1.或利用点差法直接证明kPA×kPB=-1，从而证明PA⊥PB.

证法1：将直线PA的方程y=kx代入，解得，则P（μ，μk），A（-μ，-μk），于是C（μ，0），故直线AB的斜率为，其方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x2-2μk2x-μ2（3k2+2）=0，解得或x=-μ（舍去），因此于是直线PB的斜率，因此k1k=-1，故PA⊥PB.

证法2：设P（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），B（x2，y2），则A（-x1，-y1），C（x1，0），且两式相减得，即，即故.所以所以PA⊥PB.

点评：本题的解答告诉我们：增强解题的目标意识，寻求题中各元素间的内在联系，挖掘内在的几何意义，通过整体代换，实现设而不求，简洁明了、准确解题，这是解答解析几何综合题的总策略、总原则.比较本题给出的两种解法不难发现，证法1是常规方法，思维比较自然，但计算量大；而证法2，则根据P，B两点在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程，再利用点差法，很顺畅地求出了，再利用，得到结论，充分体现出设而不求“点差法”的优越性.

本文最后值得一提的是，方法与策略虽好，但只是理论上的东西，要把这些理论转化为学生的能力，教师必须在教学中亲力亲为，必须起到引领示范作用，同时要在课堂上舍得花时间让学生练习，只有这样才能提高学生的解析几何运算能力.