准确把握概念本质，精致数学概念构建过程——以“二面角”概念教学为例

☉广西大学附属中学 庞礼金

在高中数学教学过程中，教师总是要求学生要牢记各类定理和公式，准确把握概念的本质，实现以不变应万变的教学效果.然而，现实情况却是，相当部分数量的学生在考试之后总是觉得不错，但试卷的实际得分却与估计分值相差较大.何哉？究其原因是相当的基础题的答题效果并不理想，会而不对的现象依然存在.因此，准确把握概念本质，精致数学概念的构建过程，充分培养学生对数学概念的领悟能力具有重要的意义.

一、高中数学概念构建原则

1.教学整体性

教师应注重教学过程和内容的完整性，既要求教师要耐心细致，不能以概念简单为由而忽视对概念的教学，又要求教师对所教授的内容特别熟悉，特别是对于相关概念的衍生问题要准确掌握.以设计二面角概念的课程教学为例，立体几何是高中数学中概念最多、逻辑性最强的部分，教师应在掌握各类细节的同时，制定出一套完善的教学方案，确保把知识点讲清楚的同时也能贯通始终.

2.系统渐进性

教师不能急于求成，应该按照循序渐进的原则组织学生进行探究.以“二面角”的概念为例，向量法是解决该类问题的捷径，但教材中二面角的概念是为了解决面面垂直问题而提出的一个概念，因此，教师必须全面了解二面角是怎么出现的，必须持续地、连贯地按照一定的顺序进行教学，以实现预设的教学目标.

3.启发创造性

教师的作用只是主导作用，为了充分发挥学生的主体作用，教师应充分调动学生学习的主动性.例如，在“二面角”概念的教学中，教师应结合多媒体演示、动手操作及合作探究等多种方式进行教学，最大限度地激发学生学习的动力和创造力.

4.理论联系实际

为了有效避免理论脱离实际的现象，教师应将相关的理论知识与学生的生活实践结合起来进行教学.以“二面角”概念教学为例，制作模型或多媒体辅助教学是一项不错的选择，但在“接地气”方面仍然显得不足，其在一定程度上限制了学生思维的扩展.因此，在课堂教学中，教师应从学生自身已有的认知结构中找出与二面角的定理和性质相类似的例子进行讨论交流，扩大学生的知识面，从而不断培养学生的逻辑思维能力和创新意识.

二、高中数学概念教学策略

对于初次接触三维世界的学生而言，二面角的概念具有较强的抽象性，在具体的理解和应用的过程中肯定会遇到不小的困难，就像刚学函数时很多同学不理解f（x）一样，而教材中对于二面角的定义也是通过逻辑推理的方式获得的，那么如何在知识点的深度和难度之间寻找到一个平衡点？如何使原本枯燥的概念课变得生动，而又能把抽象的内容清楚地传达给学生呢？

1.注重情景引入和直观教学

如果在概念教学中，教师没有与具体实际生活中的问题情境联系起来，而是直接将概念知识的外延和内涵强行灌输给学生，那么学生只是单纯地接受和记忆知识，随着时间的推移，所学的知识将会逐渐被遗忘，不利于学生对数学概念的理解与运用，因此，教师应注重情景引入和直观教学相结合，在概念引入时直接突显出概念的本质，把学生的注意力吸引到所学习的内容上来，让学生体会到这个概念的产生是自然的，要让学生知道为什么要学习这个概念.

2.“对话”与“讲授”并行

教师应通过设置问题串的形式引导师生、生生对话，尝试让学生自己思考问题和总结要点，同时，对于一些教学重难点知识，教师应充分发挥自己的主导作用，对于一些共性问题以讲授强调的形式帮助学生更好地理解.例如，对于“一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外”这一公理，由于这个公理较为抽象难懂，教师应使用简单易懂的生活语言进行讲授，例如，通过以一点画圆，能获得直径不相等的圆弧等已学知识帮助学生更好地理解，从而使得原本抽象的数学概念不再那么“高冷”.

3.促进小结过程中的整体理解

“一个概念、几项注意”的传统教学模式不利于学生创新思维的培养，忽略了概念的产生过程中数学文化对于学生的熏陶.因此，教师应通过课后小结的形式充分让学生厘清概念的提出、演变及完善等探究过程，引导学生像数学家一样思考，以“为什么、是什么、应该怎么样”为线索不断地完善学生的认知结构，准确地把握概念的内涵和外延，切实地让学生感悟到数学概念形成过程中所蕴含的人文和科学精神.

三、二面角概念教学的实践

高中数学是一门理论与实践相结合的课程，为了研究的更深入，本文以二面角概念的构建为例进行研究.二面角是立体几何中最为复杂抽象的概念之一，并且是历年高考立体几何题中必涉及的一个知识点，但在教材中并没有给出严格的定义，因此，笔者结合日常的教学实践和概念构建原则，将二面角的概念教学分为两个课时，其中第一课时是让学生从身边具体的实物中发现和提出问题，第二课时是找出解决问题的策略，是重点突破和例题精讲环节，其具体设计过程如下：

图1 课本示意图

1.趣味引入

为了激发学生的学习兴趣，教师应结合学生的日常生活创设问题情境.如图1所示，要求学生拿出教材，将教材的合订线视为空间中的一条任意直线，要求学生观察某一页纸与上下纸页之间的角度，引导学生思考如何测量出这个角度，指出这个角度就是我们所要学习的平面角.然后，结合学生已经掌握的异面直线的知识，通过两人合作的形式，要求其中一个学生随机支起一个角度，另外一个学生用两根铅笔分别在前一个学生已经支起的平面上寻找二面角.当大部分学生找到正确测量角度值的办法之后，及时引导学生总结出二面角的平面角的取值范围，以及二面角概念的特征等.

2.探索新知

在以上探究的基础上，教师应结合课程教学的目标，以小组为单位，重点围绕任何两个平面是否都存在二面角、形成二面角的两个平面是否必须要有公共的交线等问题展开探讨，并及时用提示性的语言对相关的问题进行引导，例如，异面直线一定有交点吗？异面直线所成的角是怎么求解的？从而帮助学生总结得出异面直线一定是没有交点的，若想求得二面角的平面角就必须通过等价替换或平移的方式让这两个平面有交线.

同时，教师还应组织学生探究出二面角的大小和表示方法，如图2所示，平面ABFE和平面EFDC所成的平面角与平面GHFE和平面EFDC所成的平面角是不相等的，其中前者明显大于90°，后者明显小于90°，并且平面还可以是无限延伸的，如图3所示，将平面EFDC向左面延伸为EFD′C′，就会出现平面角不好认定的现象.因此，教师以此为知识冲突，进一步详细阐述二面角的记法和方向，即平面ABFE和平面EFDC所成的平面角记为二面角A-EF-C，或者为A-EF-D、B-EF-D、B-EF-C，而平面ABFE和平面EFD′C′所成的平面角记为二面角A-EF-C′，或者为A-EF-D′、B-EF-D′、B-EF-C′.同时，要求学生从二面角的写法着手，进一步理解二面角是从一条交线引出的平面，且这两个平面被这个交线所“拦截”.

图2

图3

此外，为了有效地确保学生已经熟练掌握二面角的概念，教师还应通过多媒体的形式呈现如图4所示的三维图形，要求学生以小组为单位，进行组内之间的相互测试，并对于有问题的学生及时进行辅导.

图4

3.重点突破

如何求得二面角是二面角概念学习的重点，通过课堂引入环节，学生就已经发现了两个铅笔可以摆出任意角，但只有两个铅笔垂直于合订线之后所形成的角度才是平面角的度数.为了有效地验证上述结论，教师应及时通过已学知识加以验证.

仍以图4为例，要求学生应用定义法求出二面角A-BB1-C、二面角A-BB1-D，从而引出直二面角的概念，并应用正方体的性质进行验证.

4.例题精讲

实践是检验真理的唯一标准，上述二面角概念的获得是依靠教师逻辑化的教学模式获得的，但概念的应用需要通过实战进行演练，在具体实践中，为了让学生充分理解有关二面角的一般出题模式，抓住二面角问题的源头，教师应呈现出历届高考试题中有关二面角概念的考查方式，然后，要求学生以小组为单位，利用之前已经学习过的正方体或熟悉的实物模拟出题，让学生扮演出题者，最后通过投票的形式选出最合理最精彩的题目，并及时给予鼓励.

仍以图4为例，学生根据历届高考试题，创新设计出如下题目：

①已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，试求二面角D-AC-D1的平面角.

②若ABCD-A1B1C1D1为长方体，AB=3，CB=2，BB1=4，试求二面角D-AC-D1的平面角.

四、结束语

综上所述，数学概念知识是高中数学教学的出发点和落脚点，相比于传统概念中纯理论性的教学模式，在现代教学理念下，教师更应注重教学情境的创设，注重学生主观能动性的激发和情感的体验，准确把握概念本质，精致构建数学概念，有效提升学生对于实际与理论的相互转化的认知水平，只有这样，才能提高学生思考和解决问题的能力，才能提高学生对概念学习的质量和效率.