先猜后证的数学思想及其应用

朱怀静

摘 要：先猜后证数学思想是数学思想的重要组成部分，它将猜想与证明相结合，是一种创新。没有先猜后证，许多定理的证明将十分困难。文章先介绍了先猜后证数学思想的概念以及重要性，而后说明了先猜后证数学思想的在定理、引理证明以及解题时的应用，有助于高校学生在数学学习的过程中注重先猜后证思想的学习与理解，从而促进其对数学的学习。

关键词：先猜后证 数学 合情推理

引言

数学思想是千百年来人们对数学事实与理论经过概括总结后得出的对数学本质的认识。只有通过数学思想的培养，人们的数学能力才能有大幅度的提高。有人曾说过，掌握了数学思想，就是掌握了数学的精髓。先猜后证是数学思想里的重要组成部分。许多定理、引理的证明都离不开这一思想。因此，了解与掌握先猜后证这一数学思想不仅有助于中小学生掌握数学知识，对高校学生数学的学习也有极大的帮助。^[1]

一、先猜后证数学思想的介绍

先猜后证数学思想是一种重要的数学思想，这里笔者主要介绍其概念及在数学发展历程中的重要作用。

1.先猜后证的概念

在数学领域中先猜后证是一种重要的数学思想，既能够进行猜想运动，又能够对才能创新进行证明，从一定程度上来说先猜后证思想对于数学学习过程中常规打破、标新立异，并对传统习惯性思维进行超越具有一定的促进作用，是一种能够通过现象看本质的更高层次的思维。创造性的思之所以称之为是创造性思维必须有创造性的想象，爱因斯坦曾说过：想象力是科学研究中的一个实在因素。相较于知识来说想象力其实更为重要，想象力是无限的，而知识是有限的，通过想象力能够对世界上的一切事物进行概括，推动知识的发展进步。想象力对于知识来说其进化的源泉。^[2]

2.先猜后证的重要性

在整个人类数学史发展过程中，我们可以发现其中很多历史性突破和重要的发现中都有先猜后证的身影在其中发挥作用，在一个理论证明之前首先需要通过猜想发现一个命题的内容之后，还需要不断地对其进行检验以及修改，帮助猜想和理论能够不断地完善最终实现完全证明，实现对证明进行推测。在对观察到的结果加以综合类比的一整个系列过程中先猜后证都起到非常重要的作用，从发现——猜想这就是整个先猜后证数学思想的实质所在，而牛顿曾说过，没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。从种种角度足以看出整个数学发展过程中先猜后证所起到的重要作用。

在数学的发展过程中其中绝大多数数学方法、法则、定理规律等发现和发展过程中先猜后证都是其中一个非常重要的方法，并且在对各种数学问题发现并解决的过程中不能够仅仅的按照逻辑程序对问题进行思考，还需要将自己的经验和逻辑推理方法两者之间进行结合，从而将跳跃式思维更多地表现出来。在高校数学教学的过程中，老师们不仅僅需要对思维的严密性以及结果的正确性进行强调，同时也需要提高对思维的直觉探索性以及发现性进行提升，这对于学生创新以及综合能力的提升和培养有非常重要的作用。总的来说要加强对学生先猜后证思维的培养和重视，可以从一定程度上对学生的数学素质以及开放型的思维这些提升。首先在问题解决的基础上，更多的将学生已有的数学活动经验作为其基础之后，再通过先猜后证的方式对整个问题的条件进行分析，将已知的条件和位置的结构之间通过先猜后证的方式进行联系，进一步地对问题解决的效率进行提升。

二、先猜后证数学思想的应用

比如说在进行虚数的教学过程中。可以让学生们对自然系数逐步扩充到实数系的整个过程进行回顾，并从中体会到在整个数系扩充所存在的紧密联系。在叙述运算进行学习过程中，可以通过类比实数运算的法则对其需进行探究，在得出运算结果的同时还可以对运算过程中所蕴含道理进行充分了解。比如说是在对虚数加法法则进行学习的过程可以通过不完全归纳的方法、类比物理中力的分解及相加或者是向量加法的方法对学生有实际经验的方向问题进行推理得出，对于同一个问题可以从多角度进行分析并得出相应的结论。不完全归纳推理的方式和形式不仅仅能够对虚数的加法法则进行学习过程中可以使用，还能够在虚数的加乘法各运算律的计算和推理过程中进行使用。例如：平面内的 n 个圆 ，最多可将平面分割多少个互不重叠部分区域这个实际问题可转化为数学问题 ：f（1） =2 ;f（2） =2 +2 ;f（3） =2 +2 +4 ;f（n） =2 +2 +4 +6 +… +2（n - 1），求 f（n）的表达式，其所阐述的实际问题是有n个圆，其中任意两个圆都相交于两个不同的点，并且第三个园都不会在此点相交，问这n个圆将平面分成多少个不连通的部分，并加以论证。

结语

综上所述，作者在本文之中对其进行了深入的探究，希望能够给予大家一些启发。布鲁纳曾静说过探索是数学教学的生命线。意味着探索真理的方法是在数学教学之中非常关键的一步，其中归纳猜想和类比猜想都是其中相对比较重要的两个板块。在本文之中首先以先猜后想为基础，对于学生在学习过程之中要先学会这样的方法，其余在教会学生要独立自主的主动学习的方式进行学习。希望高校学生能够在文章的基础上更深入地了解先猜后证这一数学思想，在今后的数学学习中积极运用这一思想解决问题。

参考文献

[1]余德治.先猜后证的数学思想及其应用[J].中学数学杂志，2016（6）：19-22.

[2]黄坪.先猜后证，让思维活起来[J].数学教学，2014（5）：7-8.