连续统假设下 Sierpiński 集的构造及其性质研究

□孟恋忱

一、研究分析

通过以下分析可以看到，Vitali集包含不平凡的可测子集。

定理1:Vitali集有不可数零测子集。

由于下述定理，为找到只有平凡可测子集的不可数集，只能构造一种不同于Vitali集的不可测集。

定理2:任何不可数可测集都有不可数零测子集。

为给出一种构造方法，需要下面的引理。

定理3(Sierpiński集)：设实轴上的集合A具有正的Lebesgue外测度，则存在A的不可数子集S，S与任一零测集的交集均为至多可数集。

证：记B为全体Borel零测集的集族，由引理知B的势为c=1，由良序定理，存在B到首个不可数序数(即全体可数序数)ω1的序同构，以可数序数标记B中的元素，表示为B={Rβ|β<ω1}。下面归纳的定义点集S={Xα|α<ω1}。设序数α<ω1，且Sα={Xβ|β<α}已知，由于α是可数序数，故∪β<αRβ是零测集，其与至多可数点集Sα之并也为零测集，于是可在非零测集A((∪β<αRβ)∪Sα)中选取一点Xα。根据上述构造，显然有S⊂A，并且通过Xα∉Sα可以看出Xα两两相异，从而S与ω1有相同的势。对任一零测集E，存在零测Gδ集G⊃E，由于G∈B，存在可数序数γ使G=Rγ。但对每个α>γ都有Xα∉∪β<αRβ，从而Xα∉Rγ，最后得到S∩E⊂S∩Rγ⊂Sγ+1为至多可数集。

由以上方法构造的集合S没有不可数零测子集，结合定理2可知S是不可测集，并且没有不可数可测子集，只有平凡的可测子集，满足这个性质的集合称作Sierpiński集(可以等价的定义为可测子集均可数的不可数集，或是不可数子集均具有正外测度的正外测度集，证明是显然的，在此略去)。在上述证明中，如果连续统假设不成立，则无法保证∪β<αRβ是零测集，也就无法构造出S。

可以自然的得到以下性质。

定理4：Sierpiński集的不可数子集也是Sierpiński集。

证：显然。

定理5：Sierpiński集的可数并也是Sierpiński集。

二、结语