高中数学圆锥曲线解题思考与探究

赵淑贤

【摘要】在高中阶段的数学内容当中，圆锥曲线属于一项重点内容，也是一项难点内容.同時，圆锥曲线还是历年高考一个必考内容，通常以解答题这种形式出现，所占分值较大.因此，数学教师以及高中生都应当对圆锥曲线这一知识给予重视，对圆锥曲线相应的解题方法与技巧加以掌握，这样才能使得学生在高考当中取得较好成绩.本文在分析圆锥曲线命题特征的基础上，对圆锥曲线的解题技巧加以探究，希望可以对实际教学有所帮助.

【关键词】高中数学;圆锥曲线;解题技巧

一、圆锥曲线命题特征分析

第一，纵观近五年的高考数学试题，可以发现圆锥曲线方面问题设计多以下面三种形式出现.首先，圆锥曲线性质以及条件的简单应用.其次，考查直线和圆锥曲线间位置关系.最后，平面几何与圆锥曲线间的关联[1-2].

第二，思考问题的周密性.高中生在对圆锥曲线有关问题进行思考期间，需要对下面三类问题加以关注.首先，过定点与x轴是否垂直或平行问题.其次，直线方程与曲线方程联合以后需通过Δ来计算参数具体取值.最后，针对相应坐标进行计算.

二、圆锥曲线的解题思考

（一）范围问题分析

求范围这类问题是一类常见的圆锥曲线有关问题.例如，根据题干求离心率的具体范围，或针对题干当中某一参数范围加以求解.对以上问题，高中生在解答期间存在不小难度，难以在题干当中找到具体的突破点，进而难以对问题进行解答.此种情况之下，需要按照有关定理来对问题加以深入分析以及理解，进而才能进行有效解题.

例如，已知椭圆x22+y2=1上存在A和B两点，其这两点关于直线y=mx+12对称，求实数m取值范围.

分析 若想求出m具体范围，需要得到m有关的不等式，这是解答范围问题的基础环节.因此，解答此题主要是寻找一个满足要求的带有m的不等式.是椭圆和直线的相交问题，学生在解答之时需要设出交点坐标，之后用点差法求出坐标，进而解相应的不等式.

解 根据题意，假设点A（x1，y1），点B（x2，y2），那么AB所在的直线方程为yAB=-1mx+b（m≠0）.①

由已知椭圆方程是x22+y2=1.②

把①和②进行联立可得

12+1m2x2-2bmx+b2-1=0.

根据韦达定理能够得出

x1+x22=2mbm2+2，y1+y22=m2bm2+2，

代入到y=mx+12中，得到b=-m2+22m2.③

由于直线yAB=-1mx+b（m≠0）和椭圆x22+y2=1存在两个相异的交点，因此，有

Δ=2bm2-412+1m2（b2-1）=-2b2+2+4m2>0.④

将③和④联立可得到m<-63或m>63.

（二）点坐标的问题分析

在解答圆锥曲线有关问题之时，求点坐标属于常见问题，在解答此类问题之时，需对点到直线距离加以设置，之后通过曲线定义加以求解，进而得到点的具体坐标.

例如，如果椭圆x24+y23=1当中存在一点P（1，-1），且右焦点是F，椭圆之上存在一点M，若使|MP|+2|MF|的值最小，求出满足题意的点M（x，y）的坐标.

解 可先设M点到右准线距离为|MN|，根据题意可知a=2，b=2，c=1，e=12，以椭圆第二定义为依据可知MFMN=e=12，所以|MP|+2|MF|，因此，|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|，之后过P点画出右准线的垂线与椭圆交点，即所求的M点，把y=1代入原椭圆方程x24+y23=1中，进而得到x=263，y=-1，所以点M坐标为263，-1.解答此题之时，主要对定义知识进行运用，把曲线变成直线进行解答.

（三）方程问题分析

在圆锥曲线有关问题当中，方程求解属于一种常见题型，关于双曲线、椭圆和抛物线等有关问题，如果使用相应的标准方程加以研究，会增加解题难度.所以，实际解题时，可通过参数方程进行求解，这样可以让问题得以简化.

三、结 论

综上所述，圆锥曲线整体知识结构当中包含很多类型问题，与其他知识相比，圆锥曲线有关问题难度较大，对高中生数学能力以及综合素养要求较高.所以，高中生除了要对有关数学知识加以掌握之外，同时还需对圆锥曲线具体命题特征加以了解，掌握圆锥曲线有关问题相应的解题技巧，这样才能在高考当中占据优势地位.

【参考文献】

[1]陈淑贤.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的运用研究[J].数学学习与研究，2018（15）：137.

[2]唐双荣.探讨圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].高考，2018（17）：213.