立足数学建构，提高复习效率——以“27.2相似三角形（复习课第1课时）”为例

☉湖北省利川市教学研究和教师培训中心 罗仁义

复习教学难，复习教学的整体设计更难.在新授课时，由于受教学时间的限制，我们不得不将数学整体知识拆分成几个甚至十几个课时进行教学，而学生在这一段时间内学习的数学知识是零散的，缺乏系统性.为了克服新授课时的弊端，复习教学必须及时，复习教学必须统筹设计.如果复习教学能使学生整体把握所学知识，建立学生自己的数学认知结构，那么，这样的复习教学一定能够提高复习的效率.本文以利川市团堡初级中学龚志老师执教的“27.2相似三角形（复习课第1课时）”为例，与同行探讨基于建构论的初中数学复习教学方法.

一、教学过程

1.复习引入

师生活动：

（1）构建知识框图（本课以对比表和对比图的方式给出）.

表1

（2）在知识框图的基础上，引导学生回顾和梳理知识点.

（3）学生结合图表，叙述相似三角形判定定理.

（4）引导学生对知识进行回顾和梳理，回答不了的请看书后再回答.

教学点评：

（1）知识框图由师生共同较快给出，让学生从新的角度整体感知本节的知识点，避免知识的简单重复，帮助学生建立数学认知结构.

（2）通过全等三角形和相似三角形的对比，引导学生对知识进行回顾和梳理，复习相似三角形的定义、判定及性质，比较新、旧知识的异同，促成新、旧知识间的正迁移.让学生从记忆中提取知识，回答不了的看书后再回答，进一步理解、记忆相似三角形的相关知识.

2.问题探究

问题1：如图2，要使△ABC与△ACD相似，需补充的条件是_________（只要写出一种）.

师生活动：

（1）分析：已有∠A=∠A，要使△ABC与△ACD相似，可以添加一角相等或夹这角的两边对应成比例.

（2）提问：怎样添加与角有关的条件使三角形相似？怎样添加与边有关的条件使三角形相似？

（3）师生交流思考过程.

（4）学生独立思考添加的条件及解题依据.

教学点评：

（1）教师引导学生回顾已学知识，帮助学生复习三角形相似的判定方法，形成新的数学认知结构.

（2）学生经历思考和解决开放问题的过程，逐步领会解决开放型问题的方法.

问题2：如图3，一条直线分别与△ABC的边AB和AC交于点D和E，请添加一个条件，使△ABC与△ADE相似，有几种添法？并说明理由.

师生活动：

（1）类比问题1的学习方法，引导学生分别从角和边的角度添加条件，使两三角形相似.

（2）学生先思考，然后小组讨论，最后小组展示.

（3）学生回答添加的条件和证明的依据，教师做相应的点评和小结.

教学点评：

（1）解决问题2时，让学生再次对复习的知识进行回顾，有利于进一步巩固复习的知识.

（2）类比问题1分析问题2，找到添加不同的条件使三角形相似的多种方法，复习三角形相似的判定方法.引导学生利用多种方法判定三角形相似，体会方法的多样性，培养学生的发散思维能力.

3.典型例题

例1在△ABC中，D、E分别是AB、AC反向延长线上的点，BC∥DE，求证：AB·AE=AC·AD.

师生活动：

（1）审题.分析题目中的已知条件和隐含条件，明确要求解答的问题.

（2）厘清解题思路.师生互动共同归纳：要证明AB·AE=AC·AD，先把等积式变为比例式.要证明比例式，就是要证明三角形相似，而由平行可以得到三角形相似.

（3）写出解题过程.学生独立完成例1的解答，教师根据学生展示的解题过程，逐步规范解题格式.

（4）反思并总结解题方法.

教学点评：

（1）巩固由平行得到三角形相似的判定方法，由三角形相似的性质得到对应线段成比例等知识点.

（2）师生共同分析，让学生知道由已知条件获取有用信息的方法，引导学生体会根据结论步步逆推，直至所需条件能与题中已知条件建立联系的思维方法，进而获得解题的思路，培养学生的逆向思维能力.

（3）教师根据学生展示的解题过程，规范解题的书写格式，为学生后面的学习做示范.

（4）根据解决问题的一般过程，引导学生反思本题的解题过程，培养学生的思维品质，养成良好的解题习惯.

例2如图5，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：

师生活动：

（1）学生举手回答证明第（1）问.

（2）对于第（2）问，引导学生先找∠ABC=∠DBE，再找夹这个角的两边对应成比例，从而证明三角形相似.

（3）学生写出证明过程.

教学点评：

（1）在例1的基础上，调动学生学习的主动性，让学生体会证明“旋转型”三角形相似的方法，复习三角形相似的判定和性质.

（2）证明第（1）问的条件容易找到，证明第（2）问的条件较难发现.证明第（2）问要利用证明第（1）问所得对应线段的比例式，交换两内项（或外项）得到新的对应线段的比例式，这也是在证明相似三角形的过程中寻找条件时常用的方法.例2的难度逐渐加大，让学生“跳一跳，摘到桃”，激发学生的学习热情.

例3如图6，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.

（1）图中有几个直角三角形？

（2）图中有哪几对相似三角形？找出其中一对并加以证明；

（3）若AB=10cm，BC=4cm，求BD的长.

师生活动：

（1）先由学生参照例1和例2，分析本题的解题思路，然后由学生独立完成，再由小组交流，最后由学生代表展示解题步骤.教师在此过程中注意引导.

（2）在此题中，教师要注意强调相似三角形对应的顶点要写在对应的位置.

教学点评：

（1）进一步训练证明三角形相似的思路和方法，提高学生分析和解决问题的能力.

（2）利用三角形相似的知识解决数学问题，体现知识的应用价值.

（3）回顾解题思路，总结解题方法，提升分析问题和解决问题的能力.

4.课堂监测：

如图7，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，∠APD=60°.

（2）求CD的长.

教学点评：

学生独立完成，检查复习效果，为复习课第2课时的教学做铺垫.

5.课堂小结

师生活动：你学到了什么？

（1）说说三角形相似的判定和性质.

（2）你是如何找出并证明两个三角形相似的？

（3）说说几种相似的基本图形，并说说如何运用相似三角形的判断和性质解决问题.

（4）谈谈解决问题的主要步骤有哪些.

教学点评：

通过对相似三角形知识的再次梳理，有利于学生的认知结构呈螺旋式结构发展；通过对解题思路的分析和叙述，有利于培养学生的逻辑思维和推理论证能力；通过对解题方法和过程的回忆，有利于学生积累解决问题的方法；通过对解题步骤的归纳和总结，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力.

二、教学立意的进一步阐释

1.基于数学认知结构，积极引导学生建构

如何上好数学复习课？这是教师一直感到困惑的教学问题，原因在于很容易把复习课上成“炒现饭”式的简单重复课，这样的课学生觉得淡而无味，教师也感到毫无新意，更重要的是难以达到“巩固提高”的复习教学目标.本课的教学设计，特别是“复习引入”部分基于建构教学理论的设计，让我们看到了复习教学的有效途径和策略——教师从新、旧知识间的区别和联系入手，基于建构的教学设计，这样的复习课具有了新的内涵；学生从整体出发自主复习已学知识，进一步理解知识的本质，这样的复习课具有了新的意义；学生从新的角度去比较和思考已学知识，建立自己的数学认知结构，这样的复习课具有了新的高度.

2.注重复习的及时性，提高学生数学素养

当新学知识积累到一定量的时候，有计划地组织复习教学是必须的，按认知理论的观点，复习应贯穿于学习过程的始终.本节课是“27.2相似三角形”的复习课，通过相似三角形与全等三角形相关知识的对比，巧妙地促成了知识间的正迁移，既复习了三角形相似的判定和性质，又进一步巩固了三角形全等的相关知识.学生先后学习的知识得以重新建构，有利于优化学生的数学认知结构，从而提高学生的数学素养.

3.引导反思解题过程，力争做到举一反三

在典型例题的教学中，重点强调解题的思路和方法.分析思路时，除综合分析方法外，直观猜想、逆向分析、合情推理等也是行之有效的分析方法，能培养学生数学思维的品质.问题解决后，引导学生回顾解题过程，让学生总结和体会解题的一般步骤：审清题意—分析解题的思路—写出解题过程—反思并总结解题方法，体现了解决问题的一般规律.