搭建化归平台 借他山石攻玉

苏华春

摘 要：“化归思想并非源于数学，它的根源在于人类的思维定式——以现有的方法去处理面临的新问题。”借助这种思维原则来学习与教学常可事半功倍。文章借鉴化归思想为高中数学教学提供一种思路——搭建化归平台，以促进学生理解掌握数学知识，发展数学素养，融合提升数学理论应用能力。

关键词：化归平台;高中数学;化归思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 收稿日期：2019-03-27 文章编号：1674-120X（2019）21-0080-02

化归思想是重要的数学思想之一，多数教师只将化归思想方法视为解题思想方法，事实上化归思想曾被笛卡尔誉为“万能方法”：“一切问题都可数学化，化归为数学问题;一切数学问题都可化归为代数问题;一切代数问题又都可化归为方程问题，有了方程理论就可解决一切问题。” 虽然这一方法并不是万能的，但是这种思维原则体现了“化归思想并非源于数学，它的根源在于人类的思维定式——以现有的方法去处理面临的新问题”。在教学中，把“化归”作为一种教学思想方法，就是把那些有待教学、学生学习比较难的问题（内容），通过某种转化手段（搭建的平台），化归到学生已经解决或比较容易解决或已有解决程序的问题（内容），即“规范问题”，通过对规范问题的教学，使学生解决（学习）新问题。本文借鉴化归思想为高中数学教学提供一种思路——搭建化归平台促进学生理解掌握数学知识、发展数学素养、融合提升数学理论应用能力。

一、在知识发生过程中搭建知识同化、顺应的化归平台，促新知的内化吸收

中学数学知识内在逻辑关系紧密，新知的学习多在旧知基础上扩充定义，扩展延伸知识与方法，提炼产生新知识、新方法，是从已知到未知的表层知识规范化的过程。教师可立足于学生已有的学习基础，着眼寻找新知识与已经学习过的相关知识间的内在联系，通过化归的方式，把将要教学的知识用已学习过的知识来建构，让学生调整头脑中已有的知识结构去适应新的学习内容，使其对新知识的学习转变成对原有知识的发展。

如教学“空间等角定理”及其本质——空间平移的不变性（角的大小），可建立异面直线所成角与平面相交直线所成角的联系。反函数是指数函数和对数函数两个知识之间的内在联系。教学中强化从“数”的对应（映射）关系和“形”的对称关系理解反函数，学生就会参考已学过的指数函数的定义以及相关性质来理解内化对数函数的定义与性质。“数列的通项本质是一个特殊的函数”是理解数列的节点，教学在“数列是一个特殊的函数”上下功夫：①在数列中由项的序号可得对应项，即对每一个序号，都有唯一的项与之对应，这种对应本质是什么？以针对性的问题来揭示数列与函数的关系。②数列到底是怎样的函数？谁是自变量？谁是函数？（序号n是自变量，项an是函数）an是关于n的函数，这个函数的定义域是什么？数an是关于n的这个函数的什么？理清通项函数的内涵。③函数从哪几个角度研究？数列呢？让学生用函数的知识方法去建构数列的知识方法。教学中通过抓住新旧知识的内在联系的桥梁，架设知识同化、顺应的化归平台，充分发挥学生的主体地位，让学生参与到类比、归纳、化归的过程中去，促进知识习得与内化。

二、在知识应用教学过程中搭建数学模型化归平台，促提升数学理论应用能力

要将所习得的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验转化为“生产力”，巩固所学、提升能力，需要在教学中提供例题模型平台，帮助学生构建一定的知识应用模式。经过适度的强化训练，让学生研究模型问题的条件与所求，进行翻译、转化、类比，调用头脑中已有的相关联的认知结构来演绎、来推理，激活储备信息把问题转化为基本概念、定理、公式或图形问题，按照条件代入公式或定理而得出结论，让学生在大脑里形成一定的解题系统。不断教会学生学会如何想题，如何追根求源，进而让学生深刻理解概念，掌握研究方法。

例如初學等差数列的定义，由于数学符号的抽象性，学生无法马上从本质上理解什么是等差数列。给出例题：已知数列{an}满足下列条件，求通项。

（1）a2n+1=a2n+4，且a1=1，an>0.

（2）

（3）

（4）

（5）lgan+1=lgan+2，且a1=2.

（6）

给学生充分的时间整体来观察题目条件的共同结构特征，让学生内化“在你的心目中什么是等差数列”“上述题目中有没有能构成等差数列的结构”，等待学生对照等差数列定义“an+1-an=d”，将上述数列整体转化为等差数列定义形式，最后自主发现上述题目中{a2n}、{}、{}、{}、{lgan}、{}等都是等差数列，并得出相应的首项与公差，然后再求得数列的通项。

再如函数的单调性、奇偶性应用教学，设计例题与变式训练如下：

例题1：已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，且是奇函数，若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，求实数a的取值范围。

变式训练1.已知函数f（x）=，x∈[-1，1].若

f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，求实数a的取值范围。

例题2：2016年福建省质检数学科填空题：已知点A（3，1）， B（，2），且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数

f（x）=log2的图像上，则四边形ABCD的面积为        。

从直接应用知识的例题（源问题）到需要挖掘题设条件所反映的知识本质的变式训练题，让学生经历识别、联想和构建与“源问题”相关的思维桥梁，数学模型群组搭建了知识的应用化归平台。“系统地给学生发现事物的机会”，充足典型的平台催化学生模式思想的产生，让学生经历从不同角度、不同层次应用知识、形成应用知识模式到熟练掌握知识系统的过程，拓展思维，提高知识的综合应用能力。

三、在解题教学中搭建运用化归思想解题的展示平台，促数学核心素养的形成发展

数学解题的本质是转化条件与结论之间的差异，化异为同，化繁为简，需要探索化归转化的策略及化归目标选择的合理性和必然性，教学中精选例题，搭建运用化归思想解题的展示平台，让学生直观感知化归思想在解题中的指导作用，同时升华解题思想，提升解题能力。

例：对任意x∈[-1，1]不等式x2-ax-2≤0恒成立，求实数a的取值范围。在教学中先让学生回顾不等式与函数图像的关系，然后引导学生想到解此题可把代数式x2-ax-2看作函数，记（x）=x2-ax-2，指出这是化归思想指导函数思想在起作用。这样使（x）≤0对x∈[-1，1]恒成立就可转化为二次函数（x）在区间x∈[-1，1]上（x）≤

0或数形结合只需函数（x）图像在两端点处值小于等于0。求函数（x）在区间x∈[-1，1]上的最值或用函数的图像来研究属于函数知识与方法的应用，属于技能范畴，不是函数思想的体现。解决本题的关键在转化思想与函数思想的应用，让学生体验建立用化归思想指导解题的必要性，体验应用函数思想解题就是用函数和变量去思考，引领学生开拓思维，培养创新思维。

在高中数学解题教学过程中，教师通过设置合理化解题建议，不断将问题与条件的一种语言“翻译”成另一种语言（数学语言一般有文字语言、符号语言和图形语言），一种表现形式转化为另一种表現形式，展示转化思维过程与涉及的思想方法，让学生自主揭示命题的本质特征，从而找到解题途径;并在解题基础上总结和归纳解题的方法，升华到思想的高度;在后继的习题巩固环节中强化化归思想对发现解题途径的定向、联想和转化功能，有效提高学生的逻辑思维能力，让学生会想到、能做到，发展学生的核心素养。

四、在复习小结的提炼和概括中搭建知识网络化归平台，促内容系统结构化

在复习小结中运用化归方法，整合新旧知识，建构知识网络， 促新旧知识有机联系;整合解题思路，建构思维导图，促进寻找解题策略思维过程，拓宽解题思路，迅速找到解题的突破口。如研究简单多面体外接球问题时，探求解决此类问题本质：确定球心位置，在小结时可归纳、归类、构建思维导图整合确定球心的方法如下：

内切球的球心确定等也可采用类似方法，利用思维导图的表征工具，展示确定球心的解题方向，展示化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易来寻找解题策略思维过程，揭示知识之间内在联系的功能，帮助学生在思维层次上总结归纳各种基本特征、规律，提炼和概括出其中的数学思想，有助于学生更好地理解其本质特征。

总之，在不同的教学阶段、教学环节都可“搭建化归平台，引发学生数学思考，为学生思维发展而教”，让学生在自主探索、合作探究、实践操作的基础上领悟并驾驭数学思想，提高数学素养。在教学过程中教师应充分发扬新课程标准的精神，促进学生形成良好的数学思维习惯和应用数学的意识。

参考文献：

[1]波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

[2]波利亚.数学的发现（第二卷）[M].刘远图，等译.北京：科学出版社，1987.