轴向静载对变截面杆中应力波幅值的影响

袁 伟， 常军然， 金解放， 郭钟群， 梁 晨， 吴 越， 张 睿， 王熙博

(1.江西理工大学 建筑与测绘工程学院，江西 赣州 341000；2.江西理工大学 应用科学学院，江西 赣州 341000；3.江西理工大学 江西省环境岩土与工程灾害控制重点实验室，江西 赣州 341000；4.江西理工大学 资源与环境工程学院，江西 赣州 341000)

在土木工程和机械制造等诸多领域，为了达到受力合理、经济安全等目的，变截面构件和结构得到了广泛的应用[1-3]。由于地震、爆破或机械冲击等自然或人类活动，工程构件和结构在正常工作过程中，不可避免地承受动载荷作用。杆件应力波传播衰减的影响因素及规律是研究杆件动态响应和结构动态效应的基础，属于众多学者研究的重点领域和问题[4-6]。

一维应力波理论认为，影响波传播特征的因素可以分为两类：物理因素和几何因素。前者指介质的密度、弹性模量等参数；而后者主要指杆的横截面形式、横截面积沿轴线的变化特征等。针对变截面弹性杆的研究表明，应力波由小截面端向大截面端传播时，幅值发生放大现象；反之，幅值将会减小。沿波传播的方向，横截面积变化速度越快，应力波幅值的变化越剧烈[7-10]。李永池等[11]研究了黏塑性变截面杆中冲击波的演化过程，同时分析了冲击波后方的应力波传播规律。Gan等[12]也对变截面弹性杆中P波传播的频率依赖性进行了研究。

由于结构自重、外部荷载、地应力等因素的作用，工程构件或结构物在正常工作时，往往处于一定的静载作用之下。由此带来动静组合荷载对介质的作用问题。Li等[13]研究表明，当弹性杆中存在均匀应力时，其波动方程与经典一维波动方程一致。Liu等[14]对压电层状结构中的初始应力对Love 波和广义Rayleigh 波传播相速度的影响进行了研究，结果表明，随着初始应力幅值的增加，两种波传播的相速度逐渐减小。Qian 等[15]研究了初始应力对love波在具有功能梯度的半无限空间压电材料中传播的影响。金解放等[16]研究指出，轴向静载对弹性杆入射波的峰值应力和波长有较大影响。由此可见，初始的静应力对不同研究对象具有不同的影响规律。

然而，已有研究大多忽略轴向静载对变截面杆中应力波传播的影响。对于具有轴向静应力的等截面杆，其初始静应力在各个截面均相等；而对于变截面杆，其各个截面处的轴向静应力并不相等。应力波在具有轴向静应力的变截面杆中的传播是否有所不同，目前尚无相关研究报道。

基于此，采用金属铝制备直锥杆，利用动静加载组合试验系统，进行不同静载工况下的应力波传播试验，以期得到轴向静应力对直锥铝杆中应力波传播特性的影响规律。研究结果能够较好地丰富和完善应力波理论，也能够为进一步研究泡沫铝、岩石、混凝土类具有微孔隙的变截面构件中应力波的传播提供参考。

1 试验研究

1.1 试件

考虑到金属铝在工程中应用广泛，且其内部存在一定的微孔隙，轴向静载作用下，微孔隙压密较为明显，故试件采用普通金属铝制备成直锥杆，下文称直锥铝杆。查阅机械手册可知，金属铝的基本物理力学参数为：弹性模量E=72.7 GPa，密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比μ=0.3，则其理论弹性纵波波速c约为5 189 m/s。试件的长度为1.5 m，小端直径d1为75 mm，大端直径d2为140 mm，直锥铝杆的尺寸如图2所示。

在直锥铝杆侧表面的对称位置黏贴五组电阻式应变片，以记录杆中传播的应力波。为描述方便，自直锥铝杆的入射端开始，将各测点依次命名为A、B、C、D、E。测点A距离入射端9 cm，以避免试件端部应力集中而导致测试结果的误差；同时为保证测点E能够测得完整的首波，测点E距离试件的出射端91 cm，相邻测点的间距为12.5 cm，各测点的布置情况如图2所示。

图1 试件尺寸及测点位置示意图(cm)

1.2 试验装置及静应力设置

为研究具有轴向静应力的变截面杆中应力波的传播规律，基于动静组合加载试验系统，使用直锥铝杆替代透射杆，如图2所示。轴压加载装置可以实现对大尺寸试件施加轴向静载，并且静载大小易于控制。入射杆和缓冲杆均由40 Cr合金钢制成，直径50 mm。冲头采用异形冲头以实现类半正弦波加载，最大程度地消除波形弥散。为避免偏心压缩对试验造成不利影响，在施加轴向静载前，严格控制轴压端帽、入射杆、直锥铝杆、缓冲杆及轴压加载装置的纵向轴线重合。同时，为保证试件端面与入射杆、缓冲杆之间紧密接触和减小接触面的摩擦，在接触面上均匀地涂抹一层黄油。

由于本文的研究重点在于轴向静载对变截面杆中应力波幅值的影响，因此，试验变量为轴向静载，而其他影响变量应保持不变。研究表明，轴向静应力会引起入射杆上应力波幅值的降低[16]。因此，随着静载的提高，冲头的速度也应提高。通过前期的探索试验发现，相同静载下，入射波应变幅值与冲头速度近似线性相关，即

εmax=av+b, 2.5≤v≤6

(1)

式中：εmax为入射波的峰值应变，无量纲；v为冲头速度，单位为m/s；a为单位冲头速度下入射杆的峰值应变，单位为(m/s)-1；b为经验关系系数，无量纲。二者与入射杆的轴向静应力σs存在如式(2)的线性相关关系

(2)

式中，σs为入射杆上的实际轴向静应力，单位为MPa。本试验将无轴向静应力时的冲头速度定为4 m/s，测定此条件下的入射波峰值应变εmax，其他静应力级别时的入射峰值应变均采用此值。然后根据拟施加的轴向静应力，利用式(2)计算得到对应的系数a、b，再由式(1)即可求得该静应力级别下的冲头速度v。试验时，采用固定驱动气压、改变冲头推入发射管深度的方式来实现。

1-轴压加载装置;2-缓冲杆;3-直锥铝杆;4-入射杆;5-支架;6-轴压端帽;7-激光测速仪;8-异形冲头;9-发射管;10-高压气室

利用轴压加载装置对试件施加轴向静载，以使其内部形成初始的静应力。由于试件各横截面的静应力均不相等，以试件小端的实际静应力σas作为划分应力级别的标准。根据油压表显示的压力值，和轴压加载装置的活塞横截面积与试件小端横截面积的比例关系，换算得到试件小端轴向静应力。静应力σas大小分别设为0 MPa、4 MPa、6 MPa、8 MPa、10 MPa、12 MPa、14 MPa、16 MPa、18 MPa、20 MPa，共10个应力级别。

2 试验结果及分析

2.1 轴向静载下直锥铝杆中的应力波形

试验所得典型应力波信号如图3所示，其中(a)、(b)、(c)、(d)分别是轴向静应力级别为0 MPa、6 MPa、12 MPa和18 MPa时直锥铝杆上各测点的动应变。由于金属铝的纵波波速较大，同时直锥铝杆的长度有限，所以在采样时间1 ms内，采集的信号中包含了入射首波及出射端的反射回波。本文仅分析轴向静载对入射首波特征参数的影响，暂不考虑反射回波。

从图3可以看出，随着静载的增加，测点A的首波到时有所提前，而不同工况下测点A的位置是固定的。由此说明，随着轴向静应力的增加，直锥铝杆中应力波的传播速度有所增大，有关应力波传播速度与轴向静应力的关系将在下文进行详细分析。

静载较小时，直锥铝杆中应力波仍为近似半正弦波。随着静应力的增加，波形逐渐发生变化，尤其以入射首波的下降沿表现最为明显。以测点A为例，在轴向静载由小到大的变化过程中，波形下降沿依次出现了第一极值点、第二极值点、第三极值点，如图3(b)、(c)、(d)所示。第一极值点的出现原因在于，轴向静载使得试件被压缩，质点振动平衡位置发生移动。在动载的初期卸载段，质点波动受阻，且轴向静载越大，质点波动阻力越大，直接表现为第一极值点随轴向静载的增加而下移。在同一轴向静载下，沿应力波传播的方向，轴向静应力梯度减小，因此，各测点波形的第一极值点依次上移。第一极值点之后，动载出现小幅波动，直至第二极值点的出现。与第一极值点类似，第二极值点也随轴向静载的增加而下移；而二者之间的相对高度与轴向静载和动载的差异密切相关。第三极值点为动载完全卸载后，由于质点运动的惯性而达到的最大振动幅度。从图3中来看第三极值点对应的应变为拉应变，事实上，该应变仍为压应变，这是由于后期数据处理时，为了去除静应变而将波形基线归零导致的。

为了便于描述轴向静载对波形宽度的影响，本文暂且称入射首波到时t1至下降沿第一极值点出现的时间t2为应力波的历时τ，如图3(b)所示。可以看出，随着轴向静载的增大，τ逐渐减小。轴向静载对应力波波形的影响较为丰富，本文仅作简要的介绍，更为详细的机理分析将另文阐述。

2.2 轴向静应力对应力波传播速度的影响

介质的纵波波速与其弹性模量、密度相关，是综合反映介质固有属性的动力学参数。本文所指变截面杆中应力波传播速度，有别于介质的纵波波速，它反映应力波在变截面杆中传播的平均速度。

基于试验中记录的应力波信号，利用两测点的距离和首波到时差，按式(3)计算得到应力波在变截面杆中的平均传播速度，即

(3)

(a) σas=0 MPa

(b) σas=6 MPa

(c) σas=12 MPa

(d) σas=18 MPa

图3 不同工况下的典型应力波信号

Fig.3 Classical stress waves under different conditions

由于试件的材料为金属铝，其理论纵波波速较大，而试验中相邻两测点的间距相对较小，在仪器采样精度的范围内，首波到时差的变化不容易看出。因此，计算时依据测点A和测点E的首波到时差及间距，计算结果如表1所示。从表1可以看出，在轴向静载为0时，试验测得的应力波平均传播速度约为4 807.7 m/s，小于金属铝的理论弹性纵波波速。这是由于，理论纵波波速的计算是基于弹性模量和密度，认为介质为理想弹性；而金属铝内部存在初始的微孔隙，这会导致应力波在其中的传播速度减小。并且试验结果为变截面杆中应力波传播的平均速度，与理论纵波波速存在差别。

图4所示为变截面杆中应力波传播的平均速度随轴向静应力的变化。由图4可知，随着轴向静应力的增加，应力波传播速度先小幅增加，然后逐渐趋于不变，其值增加了约13%。通过曲线拟合，可以看出直锥铝杆中应力波传播速度与轴向静应力之间近似满足式(4)

表1 各测点动应变幅值

(4)

需要说明，试验时对试件施加的最大静应力未超过铝的屈服强度，因此，式(4)的经验关系仅适于弹性范围或者构件正常工作状态。由于应力波的传播速度与介质的密度、弹模等相关，以上结果说明在一定的轴向静应力范围内，金属铝的内部微孔隙被压密，密度、弹性模量有所提高。同时也间接反映出，在介质的微孔隙压密阶段，其纵波波速随静应力的增加而提高。

图4 应力波传播速度随轴向静应力的变化

Fig.4 Variation of propagating velocities of stress wave versus axial static stresses

介质的密度与纵波波速的乘积即为波阻抗，波阻抗是衡量应力波传播衰减的基本参量[17]。轴向静应力影响直锥铝杆中应力波传播速度，即表明轴向静应力对应力波的传播衰减特性有影响。因此，下文将以应力波幅值的变化，来定量研究静应力对变截面杆中应力波传播特性的影响规律。

2.3 幅值的空间衰减

应力波幅值的空间衰减是指幅值随传播距离的衰减，而其空间衰减速率通常用空间衰减系数来表征。表1列出了不同工况下，测点A、B、C、D、E记录的动应变幅值εdmax。可以看出，同一轴向静应力级别下，随着传播距离的增加，直锥铝杆上各测点的入射首波幅值而减小。

理论分析表明，应力波由直锥杆的小端向大端传播时，空间衰减系数与传播距离呈负相关，即距离小端越近，衰减系数越大；反之，衰减系数则越小。然而，进行室内应力波传播试验时，由于试件长度和测试仪器的限制，要得到变化的衰减系数是十分困难的，甚至实现不了。基于此，本文在分析幅值的空间衰减规律时，将衰减系数视为与传播距离无关的常数，按照负指数关系拟合幅值εdmax与传播距离x之间的关系，即

εdmax=εrese-αxx

(5)

式中：εdmax为动态应变幅值，无量纲；εres为空间响应幅值，无量纲，其值近似等于试件入射端的动应变幅值；αx为空间衰减系数，单位为m-1。

图5所示为按式(5)拟合得到的应力波幅值空间衰减曲线。由于篇幅所限，仅列出部分工况下的幅值-传播距离拟合曲线，详细的幅值空间衰减参数拟合结果列于表2。从图5和表2可以看出，幅值εdmax与传播距离x之间能够较好地满足负指数关系，且空间响应幅值、幅值空间衰减系数均随轴向静应力的变化而变化。

由图6可知，随着轴向静应力的增加，幅值空间衰减系数呈现“小幅减小—基本不变”的分阶段变化特征，变化趋势的分界点与图4中应力波传播速度变化趋势的分界点基本一致。分析认为，制备变截面试件所选用的普通金属铝，内部存在一定的初始微孔隙。因此，直锥铝杆中应力波幅值的衰减，主要由微孔隙的耗能和截面扩散效应导致。在轴向静载的作用下，微孔隙被压密，铝的密度增加，波阻抗增大，透射应力波的能力提高，这是空间衰减系数产生图6所示的第一阶段变化的主要原因。随着轴向静载的进一步增加，微孔隙被完全压密，微孔隙的耗能基本为0，此时的幅值衰减强弱将完全由杆件的几何性质决定，即幅值空间系数仅与直锥铝杆的截面积变化率有关。在小变形假设条件下，截面变化率几乎不随轴向静应力改变，因此，幅值空间衰减系数将基本不变。

图5 幅值空间衰减拟合曲线

Tab.2 Fitting results of parameters of spatial amplitude attenuation

σas/MPaεres ×10-3αx/(m-1)R200.2320.7140.99940.2200.7060.99260.2120.6730.99780.2040.6750.999100.1970.6770.993120.1800.6590.998140.1710.6690.994160.1590.6780.994180.1510.6650.994200.1480.6600.993

与空间衰减系数的变化趋势不同，随着轴向静应力的增加，空间响应幅值呈现持续减小的趋势，且变化率呈现“逐渐增大—基本不变”的变化趋势。对于具有轴向静应力的弹性等截面杆，当一端受到冲击时，杆中响应动应力幅值可以表示为

(6)

图6 幅值空间衰减特征参数随轴向静应力的变化

Fig.6 Variation of parameters of spatial amplitude attenuation versus axial static stresses

式中：σd为弹性杆中的响应动应力幅值；A1、z1、v分别为冲头的横截面积、波阻抗和速度；A2、z2、σas分别为弹性杆的横截面积、波阻抗和轴向静应力。

由式(6)可知，在横截面积A1、A2固定时，冲头和弹性杆的波阻抗匹配程度，决定了弹性杆中响应幅值随轴向静应力的变化率。并且在z1固定不变的条件下，随着z2的增加，响应幅值随轴向静应力的变化率逐渐加快。

对于直锥铝杆，其受冲击端的响应幅值也可以参考式(6)进行定性分析。在铝内部微孔隙的压密阶段，随着轴向静载的增大，铝的密度增加，波阻抗逐渐变大。因此导致空间响应幅值随轴向静应力的变化率增大，如图6所示。微孔隙被完全压密后，铝的波阻抗将不再随轴向静应力的变化而变化，空间响应幅值随轴向静应力的变化率也将基本不变。

2.4 幅值随静应力的变化

随着轴向静应力的增加，直锥铝杆上同一测点的幅值变化如图7所示。根据图7，对于任意测点，动应变幅值均随轴向静应力的增加近似线性减小。同时，不同测点幅值随轴向静应力的变化率也有差异，表现为越远离受撞击端，幅值的变化率越小。

分析认为，该结果是由两个方面的原因导致的，一是加载波中包含了多种频率成分，而不同频率分量的波其衰减程度不同。一般认为高频波更易于衰减，随着波的传播，高频分量的能量减小，低频逐渐占优，衰减能力减弱。二是随着传播距离的增加，试件的横面积扩大，一定的轴向静载荷增量下，横截面积越大，静应力增加越小，幅值的变化也就越小。

假设同一测点动应变幅值与轴向静应力之间满足式(7)

εdmax=-kσas+ε0

(7)

式中：k为动应变幅值随轴向静应力的变化率，单位为GPa-1；ε0为无轴向静应力时的动应变幅值。

图7 不同测点幅值随轴向静应力的变化

Fig.7 Variation of amplitudes in different locations versus axial static stresses

对于不同的测点，动应变幅值随轴向静应力的变化率k及无轴向静应力时的动应变幅值ε0,如图8所示。可以看出k和ε0均随传播距离的增加而减小，且二者与传播距离之间也近似符合线性关系。

图8 幅值随轴向静应力衰减参数与传播距离的关系

Fig.8 Relations between parameters of amplitude attenuation versus axial stresses and propagating distance

3 讨论与思考

图6所示的结果表明，随轴向静载的增加，直锥铝杆中应力波的幅值空间衰减系数呈现“小幅降低—基本不变”的变化特征。这主要是由于，直锥铝杆中应力波的幅值衰减由微孔隙耗能和横截面就扩散效应引起，轴向静载对微孔隙的压密作用导致幅值衰减减小，而几乎不影响几何衰减。对于内部含有初始微孔隙的材料，如泡沫铝、岩石、混凝土等，在轴向静载作用下，由于微孔隙压密现象，材料的物理力学参数将发生变化。因此，应力波在具有初始微孔隙的变截面杆中传播时，幅值变化规律将受到轴向静载的影响，但目前相关研究鲜有报道。

另一方面，与理想弹性变截面杆不同，随着轴向静应力的增加，直锥铝杆受撞击端响应幅值逐渐减小，而变化率呈现“逐渐增大—基本不变”的分段特征。在变化速率 “基本不变”阶段，锥杆处于弹性状态，空间响应幅值与具有轴向静应力的等截面钢杆中幅值变化一致。表明轴向静载对等截面杆和变截面杆的响应幅值有较大影响。

介质的物理力学参数是影响应力波传播的根本原因，且静应力主要通过对介质的物理力学参数产生影响，进而影响应力波的传播。对于具有初始微孔隙的变截面杆件，一定的轴向静载下，轴向静应力呈梯度分布，那么沿轴向的不同位置处，微孔隙的压密程度也有所差异，这将使得应力波传播更加复杂。因此，建立应力波在具有微孔隙的变截面杆中的传播模型时，应当考虑静应力对介质物理力学参数的影响，基于特征参数与静应力的定量关系，表征出应力波在此类介质中的应力-应变关系，从而探索出静应力对其中应力波传播衰减的影响规律。从理论和实践的角度上看，进一步研究轴向静应力对微孔隙介质变截面杆中应力波传播的影响规律是十分必要的，这也是笔者下一步将要开展的工作。

4 结 论

本文基于轴向静载下直锥铝杆的一维应力波传播试验，分析了轴向静载对变截面杆中应力波传播速度和幅值的影响。研究发现，当应力波自直锥铝杆的小端向大端传播时，有如下的结论：

(1) 轴向静载对直锥铝杆中应力波的下降沿有一定的影响，下降沿出现多个极值点，各极值点也随轴向静载的变化而移动。

(3) 随轴向静应力的增加，直锥铝杆入射端响应幅值逐渐减小，且变化率呈现“逐渐增大—基本不变”的变化趋势；而空间衰减系数呈现“小幅降低—基本不变”的变化特征。

(4) 不同测点幅值均随静应力的增加而近似线性减小，而变化率随传播距离的增加也近似线性减小。