数学阅读：核心素养发展与测评的影响因素——兼评2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题

(浙江师范大学教师教育学院，浙江 金华 321004)(舞阳县第一高级中学，河南 舞阳 462400)

阅读是人类汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径，与学生的数学学习密不可分.数学阅读作为数学学习的一项基本技能，被明确写在《义务教育数学课程标准(2011年版)》与《普通高中数学课程标准(2017年版)》中.“阅读自学”是学生多样化学习方式之一.近几年来，数学阅读在高考中得到了更大的重视，也被提出了更高的要求[1]，这在核心素养时代将会变得更为突出[2].但鲜有研究直接探讨数学阅读与数学核心素养之间的关系，而这或将成为纸笔测试背景下数学核心素养测评的一个理论与现实问题.在此方面，一项以2018年全国数学高考卷Ⅰ理科试题为例，分析高考中数学核心素养考查情况的研究[3]，从侧面表明了高考数学试题的语言表述与情境描述会影响数学核心素养的测评结果，由此间接指出数学阅读可能会对数学核心素养测评产生影响.为此，本研究在基于心理学的视角厘清数学阅读内涵的基础上，尝试探讨数学阅读与数学核心素养的发展与测评之间的关系.

1 数学阅读的内涵

国内外学者分别从特征与心理过程等方面，对数学阅读进行了深入的论述．贝尔指出了数学阅读的一般性要求：精确、条理、灵活和精力集中[4]．邵光华进一步认为，数学阅读需要较强的逻辑思维能力，其过程往往是读写相结合，并蕴含着频繁的语意转换与灵活的思维[5].喻平从心理学的角度认为，数学阅读的心理过程包括内化、理解、推理与反省这4个阶段[6]．杨红萍具体考察了数学文本阅读，指出其包含3个基本的认知心理过程：对字符(文字、符号与图形的总称)进行正确编码，对文字、符号、图形3种语言进行正确转译，并且能够对文本进行综合理解[7].

在学校数学背景下，依据阅读内容的不同，数学阅读一般可分为对教材的阅读，问题解决中对题目也即给定的问题情境的阅读，以及对课外数学材料的阅读.无论是哪一种类型，阅读材料中的信息特征与性质在一定程度上影响着数学阅读的心理过程.具体而言，由于信息的显现方式、饱和程度与呈现方式都可能会存在一些差异，或外显或内蕴，或冗余、适中抑或缺失，或表征为文字、图表抑或符号，因而数学阅读需要个体将内蕴的信息变为外显的，将冗余的信息筛选出来加以剔除，增添缺失的信息，进行表征之间的合理转换，最终将信息转化为最佳的心理表征.这一过程涉及到个体的选择性编码与语言转译两个心理加工过程.当然，对阅读材料的理解，要经过从局部到整体的精加工过程.另外，由于阅读材料包含大量的概念、命题、法则、数学思想方法，以及从已知到未知的困境，这些内容都蕴含着大量的推理.要达到对阅读材料的理解，就必须对推理的依据、方法和过程等有清楚的理解，因而，数学阅读也是一个推理的过程.最后，在整个阅读过程中，存在一种独特的心理过程——元阅读，它对整个过程进行必要的评估、监控与调整.

据此可知，数学阅读的心理过程具体包括选择性编码、语言转译、数学理解、逻辑推理与元阅读共5个阶段.数学阅读能力则可看成是由编码、转译、理解、推理与元阅读等5个子能力复合而成的一种综合能力.

2 数学阅读指向学生数学核心素养的发展

数学阅读是培养学生数学核心素养的重要途径.这主要体现在学生通过对教科书的阅读、问题解决中对题目的阅读以及对课外数学材料的阅读，不断运用数学的眼光看待世界，运用数学的思维思考世界，以及运用数学的语言表达世界.

首先，对教材的阅读是这一培养途径的基础.在学校数学中，教材是数学知识最为重要的来源与载体，对教材的阅读,主要目的在于知识的建构.这不仅要求读懂教材中的数学知识的字面意思，更要深入其中，明了这些知识产生、发展、形成的过程，理解它们在数学知识结构、体系中的地位和作用.这一过程自然会促使学生结合自己的生活、数学与经验世界，从不同的视角认识数学对象，在此基础上不断地进行假设、预测、检验、推理、想象,不断地通过观察、比较、分析、综合、抽象和概括等数学活动[8]，从而形成出知识的发展脉络，并借助数学的语言进行符号化的表述.由此可知，通过教材文本的阅读获得数学知识，为学生的数学学习和数学核心素养的发展夯实了基础.

其次，问题解决中对题目的阅读是这一培养途径的核心.在学校数学中，问题解决是数学的核心.对问题解决中题目的阅读,重在知识的理解、掌握和应用.它不仅要求能够识别题目中的关键信息，准确把握其确切的含义，厘清题目蕴含的各种数量关系、图表信息与空间形式，也需要寻找已知通向未知或未知回溯到已知的可能路径，还需要将发现的数学模式应用到现实世界中去解决实际问题.这一过程促进学生运用数学的语言准确刻画现实世界与数学世界，借助数学的眼光和数学的思维廓清关系、探明解题的方向与思路的核心.

再次，对课外数学材料的阅读是这一培养途径的有机补充.课外阅读就是从生活和学生感兴趣的角度出发，让数学知识走进学生的视野，巩固课内知识，拓宽知识面，建立数学与其内部、数学内部与外部之间的联系.因此，适当的课外数学材料的阅读对于学生开阔数学视野、丰富数学语言、优化数学思维都有积极的补充作用.

3 数学阅读影响数学核心素养的测评

数学阅读是数学核心素养测评的重要影响因素.这不仅因为数学阅读是培养学生数学核心素养的重要途径，还与核心素养的测评方式有关.数学核心素养的测评主要是基于问题解决的过程与结果，而问题的解决离不开个体从问题情境中提取与组织信息，也即割舍不掉数学阅读.以下分别从数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等6个数学核心素养的测评特征进行阐述，辅以2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题加以说明．

3.1 数学阅读与数学抽象测评

数学阅读对数学抽象素养测评的影响，与数学抽象的类型有关.数学抽象包含以下3种类型：第一种是指舍去事物的物理属性，提取数学研究对象的思维过程；第二种是弱抽象，即从一个概念或命题本身出发，采用减小内涵的方式得到概括程度更高的概念或命题，使前者成为后者的特例；第三种是强抽象，与第二种抽象方式正好相反[9].

这3种类型的数学抽象，所依据的数学阅读心理过程各有偏重.第一种抽象类型的测评环境是蕴含事物现实原型的具体背景，个体需要从数量或图形性质角度进行选择性编码，运用逻辑推理抽象出一般规律或结构，并且选用恰当的数学符号、术语进行描述.第二、三种抽象类型的测评环境是一个或多个概念或命题，个体需要在数学理解的基础上对选择性编码或语言转译的特定对象进行演绎推理(或合情推理)，减小(扩大)内涵而得到概括性高(低)的概念或命题.接下来以第15题为例，具体分析和探讨数学阅读对第一种抽象素养测评的影响．

例1甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果互相独立，则甲队以4∶ 1获胜的概率是______.

(2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第15题)

3.2 数学阅读与逻辑推理测评

数学阅读对逻辑推理素养测评的影响，是指数学阅读是进行逻辑推理的前提条件和基础.具体而言，逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养[9]，对于推理起点的事实和命题的确定、理解，以及对于推理规则的把握和有效利用，都离不开数学阅读的选择性编码、语言转换和数学理解，甚至元阅读等心理过程.由于逻辑推理主要包括合情推理(归纳推理和类比推理)和演绎推理两类，前者是从特殊到一般，或者从特殊到特殊的推理；后者是从一般到特殊的推理．接下来，以第18题第1)小题为例，对数学阅读对演绎推理素养测评的影响进行分析．

图1

例2如图1，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底边是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E,M,N分别是BC，BB1，A1D的中点.

1)证明：MN∥平面C1DE;

2)略.

(2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第18题)

这是一道关于线面平行的证明题.由线面平行的判定定理可知，需要在平面C1DE内选出或做出一条与MN平行的直线.该直线可能是DE，为了确认，需要证明直线MN与DE确定的四边形MNDE为平行四边形，也即MEND.又因为点E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点，所以只需证明B1CA1D.上述推理过程依次对应于选择性编码、数学理解和多次的语言转译等数学阅读过程，这每一个心理过程的顺利完成为演绎推理的有序进行提供了保障.

3.3 数学阅读与数学运算测评

数学阅读对数学运算素养测评的影响，不仅体现在对运算对象的理解与运算法则的把握上，也表现在通过逻辑推理和元阅读方式对运算方向的探明和运算方法的选择上，从而有利于运算呈现的设计.研究发现，2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题中的许多试题都体现了数学阅读对数学运算素养测评的影响，下面以第20题第1)小题为例进行分析．需要特别说明的是，该题作为一道综合题，主要测试学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养，这里侧重于对数学运算素养测评影响的阐述.

例3已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)为f(x)的导数.证明：

2)略.

(2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第20题)

通过对解题目标进行数学理解和逻辑推理，可知该题属于函数的极值点问题——极值点存在性与唯一性的判定.借助元阅读可进一步确定：本题直接的运算对象是函数f′(x)，运算方向是对f′(x)的单调性——先增后减性质的判断，运算方法是求导法；实际上，间接的运算对象是f″(x)，运算方向是对f″(x)的取值符号进行判断，运算方法是对函数f(x)进行二阶求导.

3.4 数学阅读与直观想象测评

数学阅读对直观想象素养测评的影响，主要作用于以数量关系为外在表征、而内蕴几何特征的对象之上，具体表现在对其数量关系的有效提取，并将这种关系合理转换为空间形式的过程之中.直观想象是指学习者能够借助图形、图像或实物来感知对象的形态，由此理解问题和解决问题[9].这意味着直观想象的初始对象虽然被描述成“数”的语言，但却具有“形”的特性，可以在数与形之间实施有效的转换.数学阅读就是通过选择性编码，捕捉到数学问题中可被直观想象的对象，围绕这些对象将此数学问题描述成图形语言，由此借助数与形的联系来理解问题，从而帮助构建数学问题的直观模型去理解问题和探索解决问题的思路，实现直观想象素养的测评.下面以第7题为例，例证数学阅读对直观想象素养测评的影响.

例4已知非零向量a,b满足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b，则a与b的夹角为

( )

(2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第7题)

图2

本题涉及的运算对象是向量，兼具数与形双重特征.无论是已知条件中向量的长度关系与位置关系，还是未知向量的夹角，都可从这两个方面加以考量.为此，可将已知条件中的向量语言转化为图形语言，如图2,在Rt△ABO中，OA=2OB，从而∠OAB=30°，于是a与b的夹角∠AOB=60°.由此可知，能否将本题中的向量语言转译为图形语言，进而建构问题的直观模型，会影响到本题的解答速度和直观想象素养的测评.

3.5 数学阅读与数学建模、数据分析的测评

首先，数学阅读对数学建模素养测评的影响，具体体现在建模过程的各个阶段.首先，选择性编码、语言转译、数学理解与元阅读等心理过程会影响学习者从实际情境中发现、提出、分析问题与建立数学模型.其次，逻辑推理和语言转译会影响运算求解和数学答案的获得.最后，语言转译、数学理解与元阅读等会影响到模型的检验与改进、实际问题的解决.数学阅读对数据分析素养测评的影响，与数据分析的对象及其过程的特性有关.在数据分析过程中，个体需要从收集到的数据中获得信息，也即对数据进行选择性编码，然后对文字、图形或表格中的数据进行转译描述，并选用恰当的模型对数据进行分析，选用恰当的方法解答这个模型，从而解释数据的现实意义.这一个过程还会涉及数学理解，甚至逻辑推理和元阅读的参与.下面以第21题第2)小题为例，综合分析数学阅读对数学建模、数据分析素养测评的影响．

例5为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一种施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

1)略；

2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(其中i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则

p0=0，p8=1，

pi=api-1+bpi+cpi+1(其中i=1,2,…,7)，

且a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8.

①证明{pi+1-pi}(其中i=0,1,…,7)为等比数列；

②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

(2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第21题)

全国数学高考卷首次将概率与统计题后移至压轴题位置，并将其与等比数列知识融合在一起，综合考查了学生的数学建模、数据分析等素养.但该试题为了降低难度，并没有让学生从数学的角度提出“合理的动物试验方案”模型，而是间接给出了等比数列模型，由学生通过逻辑推理进行严格证明.

①证明由第1)小题及α=0.5，β=0.8可知

a=P(X=-1)=0.4，b=P(X=0)=0.5，c=0.1，

从而

pi=0.4pi-1+0.1pi+1+0.5pi，

即

5pi=4pi-1+pi+1，

则

pi+1-pi=4(pi-pi-1).

易知p1-p0≠0，从而{pi+1-pi}是以4为公比、p1-p0为首项的等比数列.

上述证明过程能否顺利完成，又取决于学生能否从题目中提取出“两种药物的试验是相互独立的”等与变量X有关的有效信息，以及能否准确理解分布列的概念有关.

为了对试验方案的合理性做出解释，首先需要求出p4的值.基于对p4与数列{pi+1-pi}关系的理解和已知条件p0=0的确认，可推断出需要首先求出p4-p0的值.具体运算过程如下：

②解由第①小题知

由p0=0,得

同理可得