(吴兴高级中学,浙江 湖州 313000)
(2019年浙江省数学高考试题第16题)
本题是填空题压轴题,是2008年浙江省数学高考理科试题第15题、2017年浙江省数学高考试题第17题的升级版,对考生的数学能力有较高要求.本题以函数为背景,以绝对值、不等式、存在性问题等为载体,重点考查学生分类讨论、转化化归、数形结合等思想,以及对数学本质的理解.
本题有着丰富的内涵,可以从一题多解、多题归一、函数思想、导数思想、解集、数形结合、纵向距离等多维度去审视,从而得到不同的解法,可谓横看成岭侧成峰.例1是求最大值,故以下解法只需考虑a>0的情形.
解法1f(t+2)-f(t)=
a(t+2)3-(t+2)-at3+t=
a(t+2)3-at3-2,
设g(t)=a(t+2)3-at3-2,则
g′(t)=3a(t+2)2-3at2=12a(t+1).
因为要求a的最大值,不妨设a>0,则当t≥-1时,g′(t)≥0,g(t)单调递增;当t≤-1时,g′(t)≤0,g(t)单调递减,所以
g(t)min=g(-1)=2a-2.
由题意知只需
点评导数是研究函数的有力工具,利用导数求最值可以避免因为化简而导致的错误,比较适合学生的思维习惯.
解法2f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-at3-2=
6at2+12at+8a-2,
设g(t)=6at2+12at+8a-2,其中a>0,则
下同解法1(略).
点评通过化简将问题转化为二次函数问题,利用二次函数的性质进行求解,从而将问题化归为熟悉的背景,使问题顺利求解.
解法3由解法2得
f(t+2)-f(t)=6at2+12at+8a-2,
则
即
亦即
从而
设m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m∈[2,+∞),于是
点评解法3从绝对值不等式的解法入手,结合参数分离思想,解法自然,是解决存在性问题的常用方法之一.
解法4同解法3,设m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m∈[2,+∞).由题意得
图1
g(m)min=g(2)=2a-2,
从而
于是
点评通过换元,实现了降维,从原题的三次函数降到了一次,结合绝对值一次函数的图像,使得问题得以快速解决,极大地减少了思维量,解法简洁流畅.
解法5同解法4,设a>0,则
g(m)=am-2,
从而
g(m)min=g(2)=2a-2,
于是
即
从而
g(m)min=2a-2.
从而g(m)min=0,满足题意.
点评解法5从绝对值的定义出发,通过分类讨论,求出a的最大值,有利于学生对数学本质的理解.
此题是研究含绝对值的函数的最值问题.若考虑去绝对值,则原函数可以转化为一个分段函数来讨论,即解法5.若从绝对值的本质去思考,做一个代换,则可以转化为数轴上的问题来解决,化归为绝对值的本质,即解法6,解题变得极为简洁、直观,而这一思想与2008年浙江省数学高考理科试题第15题一脉相承.
解法7由解法3知
即
设r(t)=3at2+6tat,s(t)=-4a+1,其中a>0,则