2019年浙江省数学高考第16题深度赏析

(吴兴高级中学,浙江 湖州 313000)

1 原题再现

(2019年浙江省数学高考试题第16题)

本题是填空题压轴题，是2008年浙江省数学高考理科试题第15题、2017年浙江省数学高考试题第17题的升级版，对考生的数学能力有较高要求.本题以函数为背景，以绝对值、不等式、存在性问题等为载体，重点考查学生分类讨论、转化化归、数形结合等思想，以及对数学本质的理解.

2 解法赏析

本题有着丰富的内涵，可以从一题多解、多题归一、函数思想、导数思想、解集、数形结合、纵向距离等多维度去审视，从而得到不同的解法，可谓横看成岭侧成峰.例1是求最大值，故以下解法只需考虑a>0的情形.

2.1 函数思想

解法1f(t+2)-f(t)=

a(t+2)3-(t+2)-at3+t=

a(t+2)3-at3-2，

设g(t)=a(t+2)3-at3-2，则

g′(t)=3a(t+2)2-3at2=12a(t+1).

因为要求a的最大值，不妨设a>0，则当t≥-1时，g′(t)≥0，g(t)单调递增；当t≤-1时，g′(t)≤0，g(t)单调递减，所以

g(t)min=g(-1)=2a-2.

由题意知只需

点评导数是研究函数的有力工具，利用导数求最值可以避免因为化简而导致的错误，比较适合学生的思维习惯.

解法2f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-at3-2=

6at2+12at+8a-2,

设g(t)=6at2+12at+8a-2,其中a>0，则

下同解法1(略).

点评通过化简将问题转化为二次函数问题，利用二次函数的性质进行求解，从而将问题化归为熟悉的背景，使问题顺利求解.

2.2 参数分离思想

解法3由解法2得

f(t+2)-f(t)=6at2+12at+8a-2，

则

即

亦即

从而

设m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2，则m∈[2,+∞)，于是

点评解法3从绝对值不等式的解法入手，结合参数分离思想，解法自然，是解决存在性问题的常用方法之一.

2.3 数形结合思想

解法4同解法3，设m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2，则m∈[2,+∞).由题意得

图1

g(m)min=g(2)=2a-2，

从而

于是

点评通过换元，实现了降维，从原题的三次函数降到了一次，结合绝对值一次函数的图像，使得问题得以快速解决，极大地减少了思维量，解法简洁流畅.

2.4 分类讨论思想

解法5同解法4，设a>0，则

g(m)=am-2，

从而

g(m)min=g(2)=2a-2，

于是

即

从而

g(m)min=2a-2.

从而g(m)min=0，满足题意.

点评解法5从绝对值的定义出发，通过分类讨论，求出a的最大值，有利于学生对数学本质的理解.

此题是研究含绝对值的函数的最值问题.若考虑去绝对值，则原函数可以转化为一个分段函数来讨论，即解法5.若从绝对值的本质去思考，做一个代换，则可以转化为数轴上的问题来解决，化归为绝对值的本质，即解法6，解题变得极为简洁、直观,而这一思想与2008年浙江省数学高考理科试题第15题一脉相承.

2.5 纵向距离

解法7由解法3知

即

设r(t)=3at2+6tat，s(t)=-4a+1，其中a>0，则

又r(t)min=r(-1)=-3a，若0

即

点评若直接利用纵向距离处理|f(t+2)-f(t)|，则不易于把握，因此解法7化简后再构造两个函数，这时纵向距离便简单直观了，合理构造函数是利用纵向距离的关键.

解法8由解法5,得

设r(t)=3at2，s(t)=-6at-4a+1，其中a>0，则

设T(x0,y0)∈r(t)，则r(t)在T处与s(t)平行的切线的斜率为

k=r′(t)|t=x0=6ax0，

即

6ax0=-6a，

从而x0=-1，于是T(-1,3a).又s(-1)=2a+1，因此纵向距离的最小值为

3a-2a-1=a-1.

点评解法8是解法7的升级版，阐述了更一般情形下纵向距离的解法.解法7与解法8体现了函数及数形结合的思想，都是从纵向距离的视角来解决问题，因所构造函数的差异，纵向距离求法有所不同，但其本质不变.从距离的视角来解读绝对值，为我们解决绝对值问题打开了一扇新的窗，提供了一种新的思路与方法,与2017年浙江省数学高考试题第17题如出一辙.

3 拓展引申

一题多解是解题教学中常用的策略之一.但只为了解题而一题多解，则无法真正提高学生的核心素养，对于经典试题我们要有敬畏之心，要适度拓展与引申，充分发挥其教育功能.在数学教学中，如果能以某一主题为中心，注意把“一题多解”“多题归一”等方法组成一个互相联系、互相作用的综合体，更有助于加深知识的掌握与巩固，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和创新性，从而实现整体功能大于部分功能之和.

图2

3.1 切比雪夫最佳函数逼近理论简介

设函数f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f″(x)在[a,b]上恒正或恒负，则存在f(x)在[a,b]上的线性最佳一致逼近多项式p1(x).

p1(x)的几何意义：如图2，直线l∥MN与f′(x)切于点Q，直线y=p1(x)与弦MN平行，且过线段MQ的中点，其方程为

图3

结论1如图3，若f(x)的图像是平口单峰函数，此时图像的特征为：

1)kMN=0，Q为f(x)的极值点；

2)f(a)=f(b)；

3)直线l即p1(x)处于正中间;

结论2若f(x)的图像不是平口单峰函数，则构造为平口单峰函数.

利用切比雪夫最佳函数逼近理论，解决形如|f(x)-g(x)|的问题，从而实现“多题归一”，即从纵向距离的视角进行解读，不仅给学生一种解法，更给学生一种思想、一种工具.为强化纵向距离的应用，以下各题只讨论纵向距离解法.

3.2 高考试题中的纵向距离

考点1函数最大值的最小值问题.

例2已知函数f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.

1)证明：当|a|≥2时，M(a,b)≥2；

2)略.

(2015年浙江省数学高考理科试题第18题)

不妨设a<0，则

g(-1)=1-a,g(1)=1+a,

从而

当且仅当g(-1),g(1)与h(x)距离相等时等号成立.

点评最大值的最小值问题，是近几年浙江卷的一个热点问题，在解法上更多的是从绝对值三角不等式入手.本证法则是以纵向距离为入口，凸显数与形的完美结合，给人以美的享受.本题考查的区间是一个单调区间，因此也只需考查区间端点的函数值.

考点2函数中的参数问题.

例3已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t=______.

(2008年浙江省数学高考理科试题第15题)

解设f(x)=x2-2x,g(x)=t,函数在区间[0,3]上的最大值为2，即f(x)与g(x)的纵向距离的最大值为2.

因为f(0)=0，f(3)=3,f(1)=-1,所以

即t=1.

点评二次函数问题是高考的热点，也是难点.纵向距离解法丰富了二次函数问题的解法，给人耳目一新之感.

4 反思感悟

4.1 反思解法

对于同一题，通过一题多解，从不同的角度去分析思考，会得到不同的启示.根据题中涉及到的不同的知识点适度引申，可使学生的思维触角伸向不同的知识领域，从而加深对知识的理解，发展学生的发散思维能力.

1)从函数的本质出发，结合导数及二次函数模型，便自然有了解法1和解法2.

2)从解绝对值不等式出发，结合存在性问题解法，便有了解法3.

3)根据绝对值运算的性质，对含参的绝对值问题，分类去绝对值符号是含参绝对值运算的基础，自然将我们引向分类讨论的思想方法，从而便有了解法4～6.

4)由绝对值的几何意义，将问题转化为数轴上两点的距离，从而有了解法6，这种转化与降维思想，是数学解题的常用策略之一.

5)解法7和解法8充分体现了数学概念的本质在解题中的应用，是转化与化归思想的具体应用，是从数与形两个维度对函数进行解读，充分体现了函数思想与数形结合思想在解题中的重要地位，是对绝对值的理性思考，是对数学本质的进一步升华.

4.2 反思教学

解题教学在高中数学教学中有着重要地位，不仅要提倡一题多解，将数学的知识、数学与方法串联起来，形成知识体系，更要关注“多题归一”，关注试题背后所隐含的东西.通过拓展引申，将学生带向新的领域，让学生去领略新的盛景，发散学生的思维.

本文通过对例1的8种解法，建构绝对值函数的知识体系，通过链接历年高考试题将原题拓展引申，不仅可以强化学生对此类题模型的认识与理解，还可以激活学生的思维，特别是纵向距离方法的应用，为学生打开了一扇窗，也为解题教学研究提供了一种范式.

4.3 反思教研

研题是有效的教研形式.活动中将命题、解题、析考、论教(学)融于一体，使得集体的智慧得以充分发挥，营造了良好的教研氛围，凸显了教研的校本特征，有利于促进教师内化课程基本理念、领会教学指导思想、把握学科课程本质、感悟考试评价方向、决策教学策略方法、提高教研与教学的针对性，从而促进课堂教学的有效性，促进教师的专业发展.

一题一处景，横看成岭侧成峰，经典试题一定有其丰富的内涵与深刻的背景，我们向经典致敬，不应只是对美景钦羡而驻足不前，而是要“寻根”“究底”，只有这样才能跳出“只缘身在此山中”的尴尬.