浅议初中数学实际问题中的最佳方案选择问题

罗明建

摘  要：题型特点方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的知识和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。

关键词：初中数学;方程;不等式

解题思路解题时可以根据题中蕴含的等量或不等关系，列出方程（组）或不等式（组），通过解方程（组）或不等式（组），并结合题意确定方案，通过计算不同的方案的盈利情况，确定最优的方案。

例1 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲种电视机每台1500元，乙种电视机每台2100元，丙种电视机每台2500元，若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，恰好用去9万元

（1）请你设计进货方案;

（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一臺乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售获利最多，则该选择哪种进货方案

【分析】：抓住题中的数量关系：①两种不同型号的电视机的台数和=50;②买两种不同型号的电视机花去的费用=9万元，按购进的两种电视机的型号分别是甲、乙;乙、丙;甲、两三种情况进行讨论，设计出合理的方案后，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案.

解析 （1）分三种情况讨论：① 当购进甲、乙两种型号的电视机时，设购进甲种电视机x台，则购进乙种电视机（50-x）台，根据题意列方程，得1500+21000（50-x）=90000，解得 x=25 ∴ 50-x=25

②当购进乙、丙两种型号的电视机时，设购进乙种电视机y台，则购进丙种电视机（50-y）台，根题意列方程，得2100y+2500（50-y）=90000解得=87.5（不合题意，含去）③ 当购进甲、丙两种型号的电视机时，设购进甲种电视机z台，则购进丙种电视机（50-z）台，据题意列方程，得1500z+2500（50-z）=9000解得：=35∴50-z=15 所以有以下两种方案：

方案一：购进甲、乙两种型号的电视机各25台。

方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台。

（2）因为商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元。方案一的利润为150x25+200x25=8750（元）。方案二的利润为150×35+250×15=9000（元）因为8750<9000，所以选择方案二获利最多。答：为使销售获利最多，应该选择购进甲种电视机35台，丙种电视机15台的进货方案。

例2、某中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经治谈，购买一块A型小黑板比购买一块B型小黑板多用20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元，求（1）购买一块A型小黑板，一块B型小黑板各需多少元？（2）根据这所中学的实际情况，需从荣威公司购买A、B两种小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元，并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B两种型号黑板总数量的三分之一，请你通过计算，求出该中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？

解析，设购买一块A型小黑板需x元，则购买一块B型小黑板（x-20）元，根据题意，得：5x+4（x-20）=820解得：x=100∴ x-20=100-20=80

答：购买一块A型小黑板需100元，一块B型小黑板需80元。

（2）设购买A型小黑板m块，则B型小黑板购买（60-m）块，根据题意，得{100m+80（60-m）≤5240，m>2O解这个不等式组得：20<x≤22∴ x取正整数为21、22.所以有两种方案：方案一：购买A型小黑板21块，购买B型小黑板39块;方案二：购买A型小黑板22块，购买B型小黑板38块。

【点评】本题是方程（组）和不等式的应用，认真审题，理清题目中的数量关系，结合实际问题来确定，一般通过函数的增减性或所有方案再做出决策.难度中等.

例3  为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元;若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.

（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

【解析】（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据题意得方程组

{8a+3b=950，5a+6b=800解方程组得{a=100，b=50 ∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元.

（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100—x）个，根据题意，得7500≤100x+50（100-x）≤7650解得50≤x≤53 ∵ x为正整数，

∴x的取值为50、51、52、53。∴共有4种进货方案。（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，因此选择购A种纪念品50件，B种纪念品50件。总利润=50×20+50×30=2500（元）

∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，是一道综合性试题，难度较大，此题找到相应的关系式是解决问题的关键，应注意第二问应求得整数解。列二元一次方程组解决实际问题的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系。

参考文献

[1]  黄小霞.初中数学列方程或不等式解应用题教学难点突破策略[J].数学学习与研究，2016（12）：21.

[2]  宋青. 初中方程内容的教材比较研究[D].南京师范大学，2015.