浅谈初中数学教学中的反证法

王伟

摘 要：在初中数学教学活动中，反证法是常用的间接证明方法之一。本文重点阐明反证法的概念、反证法的一般步骤、运用反证法应该注意的问题和反证法的适用范围。

关键词：初中数学教学 证明 反证法

一 引言

数学命题的证明分为直接证明和间接证明，反证法属于间接证明的范畴。它是数学学习中的一种极为重要的方法，特别是对于一些直接证明难于入手的问题，用反证法能起到事半功倍的效果。

二 反证法的概念、一般步骤和相关实例

（一）反证法的概念

反证法是从反面的角度来思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类。即先肯定题设而否定结论，从而推导出与公理、定理、题设、临时假定相矛盾或者自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的。当不易直接证明时，改证它的逆命题的这种方法就叫做反证法。

（二）反证法的一般步骤

1、反设：假设所要证明的结论不成立，而题设的反面成立；

2、归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾—与已知条件、已知的公理、定理、定义、及明显的事实相互矛盾或自相矛盾；

3、结论：因为推论正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论的成立。

（三） 相关实例

例1. 已知：一个整数的平方能被2整除，

求证：这个数是偶数。

证明：设整数a的平方能被2整除.

假设a不是偶数，

则a是奇数，不妨设a=2m+1（m是整数）

∴a2=（2m+1）2=4m2+4m+1=4m（m+1）+1

∴a2是奇数，与已知矛盾。

∴假设不成立，所以a是偶数。

例2.求证：等腰三角形的底角必为锐角。

已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B、∠C必为锐角。

证明：假设∠B、∠C不是锐角，则可能有两种情况：

（1）∠B=∠C=90°（2）∠B=∠C>90°

若∠B=∠C=90°，则∠A+∠B+∠C>180°，

这与三角形内角和定理矛盾。若∠B=∠C>90°，则 ∠A+∠B+∠C>180°， 这与三角形内角和定理矛盾。

所以假设不能成立。

故∠B、∠C必为锐角。

三、中学数学中宜用反证法的适用范围

反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用. 那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证明命题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

（一）否定性命题

即结论以“没有、、、、”“不是、、、、”“不能、、、、”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

（二）限定式命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

（三）无穷性命题

即涉及各种“无限”结论的命题。

（四）逆命题

某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。

（五）基本命题

除了以上几种常见题型宜用反证法，还有以下几种情形的命题可用反证法：

1、基本定理、公理以及一些定理的逆定理；

2、条件较少，且又无公理、定理可用；

3、直接证法较难，命题结论的反面更易于反驳。

四 运用反证法应该注意的问题

（一）必须正确否定结论；

（二）必须明白推理特点；

（三）了解矛盾的种类。

五 结论

大家都知道反证法是数学中的一种重要的证明方法，在许多方面都有不可替代的作用。它以其独特的思维方式对培养学生的逻辑思维能力和创造力有着重大的意义。在以后的日常教学活动中，我将继续深挖其精髓，带领学生研究其奥秘。

参考文献

[1]周春荔编著.数学观与方法论[M].首都師范大学出版社；

[2]胡适耕编著.大学数学解题艺术[M].湖南大学出版社。