保证金约束下资产定价模型的广播式异步算法研究

童骏 尤建新 李展儒 张华祥

摘 要： 有保证金约束的资本资产定价模型在实际应用中面临着两个挑战， 一是模型引入了非线性的约束条件， 导致没有解析的均衡价格， 二是市场中投资者和资产的数量都很庞大， 如何高效地找到近似解。针对有保证金约束的资本资产定价模型， 提出适用于多服务器协同运算的广播式异步算法。该算法把投资者分成若干个不同的组， 各组在不同的服务器上独立运行，组与组之间通过网络相互传递外部价格信息， 各组内部根据现有的价格和接收到的外部价格信息重新更新组内价格， 并广播给相邻的组，减少了单台服务器的计算负担。该算法可看成一个非做市商的价格形成过程。研究证明， 在满足一定的条件下， 各组价格均以概率1收敛到相同的均衡价格。数值实验验证了所提算法的效果。

关键词： 保证金; 资产定价; 广播式; 异步算法

中图分类号： F 22

文献标志码： A

Abstract： The application of the capital asset pricing model with margin-requirement constraints in practice faces two challenges. One is that the model introduces non-linear constraints， leading analytic equilibrium prices unable to be derived. The other one is that the number of investors and available assets in the market is generally very large， raising the question of how to find an approximate solution efficiently in a promising time. In this paper， we propose an asynchronous broadcast-based algorithm for the capital asset pricing model with margin-requirement constraints， which is suitable for implementing on multi servers who can work collaboratively. The algorithm divides investors into several different groups， each of which runs on an independent server to reduce the computational burden of a single server. The groups transmit prices information to each other through the network. Each group updates prices by combing their current prices with the received neighbors′ prices， and broadcasts them to its neighbors. We prove that under certain conditions， each group′s prices will converge to the same equilibrium prices with probability 1. The numerical experiments verify the effectiveness of our proposed algorithm.

Key words： margin requirement; asset pricing; broadcast; asynchronous algorithm

資本资产定价理论（CAPM）由Sharpe （1964）、Lintner （1965）和Mossin （1966）提出， 是公认的奠定现代金融学的基石之一， 目前依然是学术研究的一个热点。 然而， 该模型假设投资者是同质的且市场是无摩擦的， 这种过于简化的假设导致其应用效果并不理想。 因而， 模型自提出以来备受争议。 为了使模型更有解释力， 目前已有大量的文献对其进行改进， 针对不同的市场情景提出了不同的变种。 譬如， Lintner （1969）、Fama和French （2007）以及He和Shi （2007）等把假设条件放松到投资者是异质的情况， 而Jarrow （1980）以及李科等（2014）、Rytchkov （2014）和Ma等（2018）则分别引入卖空限制和保证金制度等交易限制， 研究它们对资产价格的影响， 吴文生等（2018）则研究变动均值和方差情况下的资产配置模型。

从计算的角度来看， 在模型中引入非线性的约束条件通常会使求解解析的均衡价格变得十分困难。 现有的文献普遍采用传统的利用拉格朗日函数一阶导数的方法来求解， 但这种方法只有在投资者和资产数量都非常少的时候才有效。 众所周知， 市场中的投资者和资产的数量都非常庞大， 在这种情况下只能寻求数值方法给出近似解。 然而， 目前缺乏行之有效的算法， 在一定程度上限制了模型的应用价值。 对于一般的均衡模型， 学术上提出了不少方法， 比较常见的是将均衡问题转化为一个等价的优化问题或者不动点问题， 然后运用优化方法来求解。 但对于带非线性约束的资本资产定价模型来说， 转化后的优化问题通常是非凸的且形式复杂， 不适合用这类方法求解。 因此， 设计适用于求解大规模均衡定价模型的算法是一项有挑战性、有现实意义的工作。

近年来， Tong 等提出了一种非梯度的求解方法。 与现有方法不同的是， 该方法按照资产的供需关系来调整价格， 整个过程符合经济学解释。 但它的缺陷在于， 每次迭代只有等所有的投资者都更新完需求后才能进行下一次迭代， 从而使系统产生大量的等待时间， 降低了求解效率。 为了减少系统的等待时间， Tong等进一步提出了四种不同类型的异步算法， 其特点是需求更新过程与价格更新过程可以存在不同程度的延时。 由于每个投资者独立计算投资决策问题，所以这类算法适合用分布式的方法来计算。 因此， 如何设计有效的分布式计算方法是本文研究的主要内容。

随着信息技术的飞速发展， 以云计算为代表的基于多服务器的协同计算方法为求解大规模问题提供了新的途径， 特别是在计算机、通信、电力等领域， 越来越多的学者开始尝试设计分布式的计算方法， 但在金融领域的应用则较少。 在优化领域， 这方面的研究有Bertsekas （1983）针对经典的不动点问题提出的按变量分量的下标顺序依次循环迭代方法， Tsitsiklis等（1986）提出的异步型分布式梯度算法， Tsitsiklis和Bertsekas （1986）讨论了异步算法在数据网络方面的应用， Bertsekas和Yu （2010）则研究了异步算法在动态规划方面的应用， 许浩锋等（2015）研究了分布式在线交替方向乘子法，等等。 同样， 由于原均衡问题转化后的形式十分复杂且往往非凸， 这些方法也并不适用。

如果视投资者为一个agent， 那么均衡资本资产定价模型本质上等价于一个多agent的博弈模型。 针对这类模型，近年来， Nedic和Ozdaglar （2009）以及Nedic （2011）提出了基于agent网络结构的不同的分布式算法。 他们把每个agent单独计算， agent之间通过网络传递信息， 他们证明了在一定的条件下， 算法将收敛到均衡解。 其中， Nedic （2011）针对和式优化问题， 即maxx∈X∑i=1fi（x）提出了广播式异步算法，其迭代形式在结构上和Tong等给出的算法公式十分相似。

本文的主要创新之处在于， 基于Nedic （2011）的异步思想， 针对带保证金约束的均衡资产定价模型， 提出了广播式异步算法。 不同于Tong 等的算法， 该算法将投资者分成若干个不同的组， 各组根据组内的供需关系以及相邻组的价格信息重新调整价格， 并对相邻组广播更新后的价格信息， 如此不停迭代， 直到各组价格均趋于均衡价格。 有趣的是， 从经济学的角度看， 该算法与Tong 等的算法刻画了两种不同的价格形成机制。 Tong 等的算法对应于做市商根据市场的供需关系统一调整价格， 而本文所研究的广播式异步算法则对应于各组（局部）之间通过不断传递各自的价格信息来相互影响，最终形成一个统一的均衡价格。

1 模型描述

假设市场上有K个投资者、J个风险资产和1个无风险资产。 记投资者的下标为k∈{1，L，K}， 风险资产的下标为j∈{0，1，L，J}， 其中下标j=0代表无风险资产， 其利率为r。 模型考虑单个周期， 即t=0，1。资产j的期初价格用pj表示， 期末价格用随机数Xj表示。 假定投资者（以k为代表）在期初拥有资产j的禀赋数量为nkj≥0。 那么， 市场上资产j的总供给量等于∑Kk=1nkj， 投资者的总财富等于Wk0=∑Jj=0nkjpj。 这里不考虑交易成本， 但假设投资者k在做空风险资产j时需支付固定比例为mkj的保证金。

2 算法设计及收敛性分析

2.1 算法设计

根据Nedic给出的广播式分布迭代思想，把投资者划分为m个互不相交的组S1、L、Sm分别独立运算， 组与组之间通过网络传递价格信息。 这里假设数据传递过程是顺畅且及时的， 而且各组内的投资者收到的价格信息是无差异的。 这些组所构成的无向连通图可用符号表达为（V，E），其中与组i连通的组所构成的集合记为N（i）， 即N（i）={J∈V|{i，j}∈E}，它也称为组i的鄰域。每个组有一个局部虚拟时钟，其走动过程与其他组的虚拟时钟相互独立，且满足到达率为1的泊松分布（这里忽略组内的计算时间）。局部时钟每走动一次都将唤醒该组进行迭代并对邻域内的其他成员广播（传递）当前结果。图1分别展示了小组内部更新价格过程和组间关系。

4 结语

资本资产定价模型是目前用来分析金融市场最有效的工具之一。 在实际应用中， 为了使模型的分析效果更好， 使用者根据不同的市场环境对其进行改进。 改进后的模型形式变得复杂， 给模型的求解带来了困难。 更何况， 市场中投资者和资产的数量都十分庞大， 常用的算法通常失效。 随着云计算等信息技术的发展， 越来越多的研究开始探索基于多服务器协同计算的方法。 本文以带保证金约束的资本资产定价模型为背景， 在Tong等的算法的基础上提出基于多服务器的广播式异步算法。 该算法把投资者分成若干个不同的组， 各组在不同的服务器上独立运行， 减少了单台服务器的计算负担。 组与组之间通过网络相互传递外部价格信息， 组内根据自己的价格水平和接收到的外部价格水平重新更新价格并广播给相邻的组。 从经济学上看， 不同于Tong等的算法所隐含的做市商价格形成过程， 本文所提的算法可看作非做市商的价格形成过程。本文证明， 在满足一定的条件下， 各组的价格水平均以概率1 收敛到相同的均衡价格。 随后的数值实验验证了所提算法的效果。

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