求解不等式问题的方法与技巧

周华劲

摘 要：不等式是高中数学知识的重要板块之一，高考必考题目。本文将主要对一元二次不等式，绝对值不等式的求解方法与技巧进行研究。

关键词：求解;不等式问题;方法;技巧

1、一元二次不等式的解法

1.1一元二次不等式

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。如，.其中均为常数且.

一元二次不等式是常见的基本不等式，是不等式的基础内容。其解法步骤为：移向，正化，求根，标轴，穿线（偶重跟打结），定解。

移向，根据求解需要把不等号两边的解析式进行转移。移向时，解析式的符号改变，不等号不变。

正化，就是把不等式中的解析式的符号变为正的。若解析式为正，则不等号不变;若解析式为负，把解析式转化为正，不等号改变。

求根，把不等式化为方程，求出方程的根。

定解，根据求解的跟，确定不等式的解（集）。

技巧：运用函数图像。

1.2一元二次不等式的常规解法

设有为一元二次不等式，当时，可在不等式两边同乘以-1，变形为二次项系数为正数的情况。

把一元二次不等式转化为一元二次方程，并且要确定一元二次方程有没有解。而判断一元二次方程是否有解，需要了解根判别式法。在一元二次方程中，若，则方程有两个不相等的实数解，原不等式的解为，不等式的解为.

若，原不等式可化为

，所以此不等式的解释，而不等式无解。

此外，若若时，因为

.所以原不等式的解是全体实数，而不等式无解。

例1   解不等式

分析：这是一元二次不等式，我们可以按照一元二次不等式的解法。

解：因为  另

可求出两个根  所以不等式的解

是

对于一些特殊的一元二次不等式，有一些较为方便简单的技巧。比如解不等式。运用常规的方法为，先判别一元二次方程有无解，再求方程的根，然后再定解，显得非常的繁芜困难。

其实应联想到把多项式化为几个多项式相乘的形式，再根据穿针引线法，即可确定所要求解的不等式的解。

对于解不等式，可以把多项式，转化为几个多项式相乘的形式，我们可以得出每个因式的零点，分别为.如何转化为几个多项式相乘的形式，需要一定的技巧。

对于，若有两数之和等于，两数之积等于，则，可以转化为.其中，

在这里运用穿针引线法，可得出原不等式的解。可以简单总结其法则为，自上而下，从右到左，奇穿偶不穿。

因此，解不等式

解：

所得的两个零点为

根据穿针引线法，原不等式的解为

2、绝对值不等式的解法

2.1绝对值不等式

把含有绝对值符号的不等式称之为绝对值不等式。

基本的绝对值不等式有，其中，的解集为，的解集为.因此，可以解绝对值不等式，其中

2.2绝对值不等式的解法

分段讨论法是求解绝对值不等式的基本方法，先找出每个绝对值记号内的函数零点，用这些零点将此不等式的定义域分成若干个相互连接的子区间，然后在每一字区间上，根据绝对值的定义，去掉绝对值符号，求出原不等式的解集，最后確定这些解集的并集即可。这种方法去掉绝对值之后，分段讨论，这样就把原来较为复杂的绝对值不等式化为简单明了的整式不等式或不等式组，然后再对整式不等式或不等式组进行求解，确定解集即可。

解不等式

分析：这种绝对值不等式是类型，其解为.

解：

（去绝对值）

所以，原不等式的解为

解不等式

原不等式是类型，其解为或.

解：

（去绝对值）

所以，原不等式的解为

解不等式

分析：求出的零点是-4，的零点为1，所以用-4，1将数轴分成三个区间讨论，原不等式的解就是三个不等式组的并集。

解：

的零点为-4，的零点为1，用这两个零点可以将数轴分为三个区间，原不等式可化为下列三个不等式组的并集。

解得方程组（1）无解，方程组（2），方程组（3），

且时，原不等式成立，

所以，原不等式的解为.

形如，虽然可以运用分段讨论的方法取绝对值进行求解，但是还有更简便的方法去绝对值。对于，分别对不等号两边的式子平方，不等号不变。这样即可把一元不等式的绝对值去掉，化为普通的整式不等式进行求解。

例 4   解不等式

解：原不等式可化为：

有

解得

故，原不等式的解为.

有时候，我们可以把其他的不等式转化为绝对值不等式，这样也可以达到快速解题的效果。

如，解不等式

分析：多项式可以转化为.原不等式可以转化为.由此可去根号，化为，到了这里就可以利用类型，其解为来求解，即可得出元不等式的解

解：

有

可得

即

所以，原不等式的解为.

小结：求解绝对值不等式最主要就是去绝对值，把绝对值不等式化为整式不等式或不等式组。要是不等式中只有一个绝对值符号，直接运用的类型，其解为或，以及类型，解为。要是不等式里含有多个绝对值，需要找出每个绝对值符号内的零点，这几个零点组成几个区间，再用分段讨论法，即可去绝对值，把绝对值不等式转换为不含绝对值的不等式（组）。当然在某些情况下还有更好的取绝对值的方法，比如当不等号两边都是只含绝对值符号时，两边平方即可。也可以使用逆向思维，利用绝对值不等式来简化比较复杂的不等式。比如，根据算数根与绝对值的关系，某些无理不等式可化为绝对值不等式来求解。