分类讨论思想在数学教学中的渗透

顾艳

摘要：在数学教学中渗透分类讨论思想需要抓住两点：（1）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简;（2）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。学生在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解。因此，将中考一轮复习课《等腰三角形问题》整合成分类讨论的专题，通过层层递进的习题，引导学生对边、角、顶点、高等条件进行分类，帮助学生掌握分类的原则，体会分类的思想。

关键词：分类讨论思想渗透等腰三角形问题复习课

分类讨论是按照对象的相同点和差异点，将对象区分为不同种类，加以研究的思想方法。它是一种比较重要的数学思想。使用分类讨论思想往往能使复杂的数学问题简单化。应用分类讨论思想解决数学问题，可以培养学生思维的周密性、条理性，提升学生研究问题、探索规律的能力。因此，数学教学应重视分类讨论思想的渗透。

笔者认为，在数学教学中渗透分类讨论思想需要抓住两点：（1）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简;（2）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。下面以中考一轮复习课《等腰三角形问题》为例加以说明。

一、教学构想

这节课前，学生已经掌握了等腰三角形的基本知识，较为全面地理解了等腰三角形的概念、性质，也做了不少等腰三角形的证明及计算练习，且正确率较高。但是，学生在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解。因此，笔者将中考一轮复习课《等腰三角形问题》整合成分类讨论的专题，希望通过层层递进的习题，帮助学生掌握分类的原则，体会分类的思想。

二、教学简录

（一）热身练习

通过一组简单的填空练习，唤醒学生对于等腰三角形的解题方法的记忆。

练习1已知等腰三角形的一个内角为95°，则其底角为。

练习2已知等腰三角形的一个内角为65°，则其底角为。

（二）探究一：与边有关的分类

师（投影出示）例1：已知等腰三角形的两边长是方程x2-11x+30=0的两根，求它的周长。

生周长是16或17。

师很好！能说说你是怎么考虑的吗？

生我先解方程，方程的两根为5和6。求周长需要分腰为5、底为6和腰为6、底为5两种情况讨论。

师很好！现在我将这道题改一改，你们再试试。（投影出示）变式：已知等腰三角形的两边长是方程x2-6x+8=0的两根，求它的周长。

生8或10。

生不对，8要舍去。

师为什么？

生方程的两根为2和4。求周长需要分腰为2、底为4和腰为4、底为2两种情况讨论。但是，腰为2、底为4这样的等腰三角形不存在，所以8要舍去。

师很好！我们在分类讨论时，还要考虑三边之长是否满足三角形的构成条件。（投影出示）例2：已知等腰三角形ABC的周长为8 cm，AB=3 cm，则BC=cm。

生两解：2或2.5。

师能说说你的思路吗？

生我是分两种情况来求解的：当AB为腰时，AB=AC=3 cm，则BC=2 cm;当AB为底时，AB=3 cm，则AC=BC=2.5 cm。

师有没有补充的？

生没有。

师这道题和上一题有什么不同？

（学生迟疑。）

师老师提示一下：上一题是知道等腰三角形不相等的两边长，求其周长，只要对已知的两条边哪个是腰、哪个是底进行分类讨论，剩下未知的一条边是腰还是底就确定了;而这道题是知道等腰三角形的周长和一条边长，求其另外一条边长，因此除了要对已知的边是腰还是底进行分类讨论，还要对——

生（恍然大悟）还要对要求的边是腰还是底进行分类讨论。

师非常好！请你补充完整。

生当AB为腰时，若BC为腰，则AB=BC=3 cm;若BC为底，则AB=AC=3 cm，BC=8-3×2=2（cm）。当AB为底时，BC为腰，则AC=BC=（8-3）÷2=2.5（cm）。

师非常好！这道题要分三种情况讨论。实际上，换个角度看，这道题和上一题的不同还体现在，这道题给出了顶点具体的字母，而上一题没有给出。因此，我们还可以对具体的字母从顶点的角度分类。谁来试试？

生（1）当A为顶角的顶点时，AB=AC，BC为底;（2）当B为顶角的顶点时，AB=BC，AC为底;（3）当C为顶角的顶点时，AC=BC，AB为底。

师很好！你发现了什么？

生这三种情况和之前对已知的边及要求的边是腰还是底进行分类讨论得到的三种情况是一一对应的。

师非常好！你能按照現在这种分类方法将这道题的解答补充完整吗？

生（1）当A为顶角的顶点时，AB=AC=3 cm，则BC=2 cm;（2）当B为顶角的顶点时，AB=BC=3 cm; （3）当C为顶角的顶点时，AC=BC=2.5 cm。

师很好！这两种解法本质上是一样的。我们在解决有关等腰三角形边的问题时，有时需要对边进行分类讨论，即对已知的边和要求的边是腰还是底进行分类讨论。当然，在给出顶点具体的字母的情况下，也可以按顶点来分类讨论，因为顶角的顶点一旦确定，腰和底也就随之确定了。

[设计意图：例1只需要考虑一次分类，是铺垫题。变式题是为了让学生在分类的基础上学会全面考虑，进行取舍。例2需要考虑两次分类，或者换一个更本质的角度，通过一次分类获得所有情况，是易错题。很多学生的思维定式是抓住一个条件进行一次分类，这样最容易漏解。通过例2，学生可以学会多角度思考，让思维更缜密;学会换角度思考，让思维更灵活。]

（三）探究二：与角有关的分类

师（投影出示）例3：已知等腰△ABC中，∠A=80°，则∠B=。

生老师，我们小组计算出三个答案：50°、20°、80°。我们是按顶点来分类的。

师很好，活学活用！顶角的顶点一旦确定，顶角和底角也就随之确定了。而如果按角来分类，则不仅要对已知的角分类，还要对要求的角分类。可见，按顶点来分类最高效。（稍停）你能上黑板画出对应的三个图形吗。

（学生板演，结果如图1。）

师很好！依次是A为顶角的顶点、B为顶角的顶点、C為顶角的顶点的情况。（投影出示）例4：已知等腰△ABC中，BC边上的高等于BC边长的一半，则∠BAC=。

（学生小组讨论。）

生这道题，我们认为应该分成两类：（1）BC为底时，∠BAC=90°;（2）BC为腰时，∠BAC=75°。

师你能上黑板画出图形吗？

（学生板演，结果如图2。）

师BC为底时，不难得到∠BAC=90°。但是，BC为腰时，你是怎么得到∠BAC=75°的呢？

生在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=BC=2AD，所以∠B=30°。可得∠BAC=75°。图3

师好的。分成这两类后得到的结果都没有问题。那么，这样的分类有没有问题呢？我们再来检查一下。这里是按边分类的。若果按角分类，结果一样吗？

生一样。

师按顶点分类呢？

生一样，因为B为顶角的顶点、C为顶角的顶点这两种情况实际上是一样的。

师非常好！那么，还有什么条件可能也需要分类讨论吗？

生是高这个条件吗？

生（恍然大悟）当BC为底时，要分BC边上的高AD在三角形内和在三角形外两种情况讨论。

师AD什么情况下在三角形内？什么情况下在三角形外？

生顶角B（或C）为锐角时在三角形内，为钝角时在三角形外。

生黑板上只画出了锐角三角形，还有钝角三角形没有画出来。应该还有一解：∠B（或∠C）=150°，∠BAC=15°。

师很好！下面我给出完整的分类，大家来看看。（投影出示图3）这道题在按边或角或顶点分类的前提下，还要对高的条件进行分类。所以这道题的结果是三解。分类要到位，才能不漏解：对任何条件，都要看看是确定了的还是需要讨论的;对一个条件分类讨论之后，还要看看其他条件是确定了的还是需要讨论的。

[设计意图：例3承接例2，将边换成角（周长条件相当于隐含的内角和结论），让学生按之前掌握的方法（思路）进行分类，属于复习巩固题。例4新增了一个高的条件，表面上需要考虑三次分类，实质上需要考虑两次分类（BC为腰或底一旦确定，∠BAC为顶角或底角也就随之确定了），具有一定的挑战性，将学生的思维发展推向高潮。而教师最后的总结，明确了分类的思想，起到了画龙点睛的作用。]