有关向量上的投影的概念解读

张浩

一个向量在另一个向量上的投影是一个很重要的概念。一个向量在另一个向量上的投影是一个实数，不是一个向量，而这个实数的值与投影的长度有关，也与投影的方向有关.很多学生无法正确理解“向量上的投影”这个概念，对此，笔者对其进行了进一步的研究.

（1）代数定义：向量在向量方向上的投影为| | cos < ，  >=| ||0|?cos < ， 0 >=  ?0，其中 0是的单位向量.从投影的表达式 cos< ， >上看，当  ≠ ，≠  时，式中| |>0，cos < ， >可以是正数也可以是负数，也可以是零，所以向量在向量方向上的投影可以是正數也可以是负数，也可以是零，即下列2种情况：

①当<  ， >∈[0， ]时，cos < ， >∈[0，1]， 所以向量在向量方向上的投影为;

②当<  ， >∈（ ，π]时，cos < ， >∈-1，0，所以向量在向量方向上的投影为;

（2）几何表示：已知和，向量在向量方向上的投影，可用图1、2表示.

用一束垂直于向量所在直线的太阳光去照射向量，则在向量所在的直线上留下的向量的影子--线段 MN，线段MN 就是向量在向量方向上的投影，其中点M 是向量的起点在直线上的投影，点N 是向量的终点在直线上的投影.

图1 中，从 M 到 N 的方向与向量的方向一致，此时投影 MN 表示一个正数.由投影的代数意义知，投影 MN = cos< ， >，我们将向量向下平移，使其与向量共起点，由锐角三角函数的定义知cos< ， >就表示线段 MN 的长度，也就是说，若从M 到 N 的方向与的方向一致，则投影MN 所表示的值等于投影 MN 的长度.

图2 中，从 M 到 N 的方向与向量的方向不一致，则向量在向量方向上的投影 MN 表示一个负数.由于投影 MN = cos< ， >，而此时向量与向量的夹角< ， >是一个钝角，该夹角的余弦值是负的，即cos < ， ><0，若夹角< ， >的补角为θ（θ为锐角），则 cos < ， >=-cos θ，即投影MN = ?（- cosθ）=-（cos θ）= -MN ，也就是说，若从 M 到 N 的方向与的方向不一致，则投影 MN 的值等于投影 MN 的长度值的相反数.

综上，可以得到由投影长度求投影值的公式：

这里MN 是指投影 MN 的长度.投影 MN 的值与线段 MN 的长度相等或互为相反数，而投影 MN 的长度是非负数，即MN ≥0，所以投影 MN 的长度MN 是投影 MN 的绝对值，则由投影值求投影长度的公式：

例1. ABCD -A′B′C′D′为单位正方体.（1）求向量 C A′在 C D 上的投影;（2）求向量 C A′在 D C 上的投影.

解析：（1）由于 A′D⊥DC，所以向量 C A′在 C D 上的投影是 CD，又从 C 到 D 的方向与 C D相同，所以所求投影 CD 的值就是线段 CD 的长度，即投影为1;

（2）向量 C A′在 C D 上的投影仍然是 CD，但从 C 到 D 的方向与向量 D C 的方向相反，所以所求投影的值是线段 CD 长度值的相反数，即投影为-1.

解答本题，需根据投影的长度求投影的值.

例2.如图3，已知点A 是空间内一点，平面α 经过点 P，向量为其法向量，点 A 不在平面 α上，求点 A 到平面α 的距离.

解析：作向量 P A，若 P A 与不共面，可以平移向量，使向量 P A与共面，过 P 作直线 AA′的垂线，垂足为 A′，则 AA′为向量 P A在向量上的投影，点 A到平面α的距离就是线段 AA′的长度.由投影的概念可知，AA′=P A? n0， 因此点 A 到平面α 的距离 d =P A? n0.

根据投影值与投影的长度之间的关系可知，根据公式（1）可以由投影的长度求投影值.而在解题时，通常需利用公式（2），由投影值的大小求出投影的长度.

（作者单位：陕西省神木市第七中学）