函数单调性在解题中应用

刘经平

函数单调性在解题中有十分广泛的应用，有些表面上似乎与函数无关的问题，只要精心观察、深入挖掘、广泛联想，适当构造函数，转化为函数问题，利用所构造函数的性质去解决，常常可化难为简，化繁为简，获得意想不到的效果

1.利用函数单调性比较数值大小

例1.如果f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），则有（ ）

A.f（2）

B.f（1）

C.f（2）

D.f（4）

解：由题设知f（x）的图象是开口向上且以直线x=2为对称轴的抛物线，易见f（x）在[2，+∞）上為增函数，并且f（1）=f（3）

2.利用函数单调性解不等式

例2.解不等式4x+log3x+x2>5.

解：f（x）=4x+log3x+x2的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）上是增函数，又f（1）=5，故原不等式f（x）>f（1）x>1，故不等式的解为x>1.

3.利用函数单调性解方程

例3.解方程

解：令，则x=92t，原方程化为log12（9t+3t）=t，即，显然当t=1时，方程成立。

设，因为两个函数都是减函数，故当t>1时，当0

4.利用函数单调性求参数的范围

例4.不等式1+2x+a4x>0在总成立，试求a的取值范围。

解：将已知不等式化为，因（）x，（）x同为减函数，则时，有最大值-，∴a>-.

5.利用函数单调性求函数最值

例5.若，求函数的最小值。

解：设，则。原函数式化为，配方得。易见，并且在时，y关于t单调递增，所以，当时，达到最小值，所以函数的最小值为。

函数思想是中学数学的重要思想，培养学生使用函数思想的意识，提高学生运用函数性质解题的能力，是中学数学教学的基本要求。考查学生能否较好地运用函数思想和函数性质解题，是对学生能力考查的重要内容.适当构造函数，转化为函数问题，利用所构造函数的性质去解决，常常可化难为简，化繁为简，获得意想不到的效果.