一道椭圆离心率问题的解题研究

罗万萍

摘要：椭圆离心率问题是数学高考中的一个重要考点，本文借助波利亚的“怎样解题表”利用一道典型例题的五种不同解法，引导学生突破思维，学会解题，把机械的做题转变到深刻理解概念的内涵及外延，以及对解题进行归纳、总结、拓展、感悟的轨道上来，让教师和学生找到真正的“应试之道”。

关键词：椭圆 离心率 怎样解题 新高考

椭圆的离心率的值或者取值范围是高考的高频考点，求离心率的本质就是探究a，c之间的数量关系。椭圆的离心率体现椭圆的扁平程度，而扁平程度与椭圆的范围有关，椭圆离心率问题是学习的一个重点和难点它涉及的知识面广，题目带有一定的综合性和灵活性。对学生思维能力要求较高。我们以一道经典例题的一题多解，尝试借助波利亚的“怎样解题表”来引导学生展开思考，帮助学生突破思维障礙。

四、解题反思：

方法一本质是将存在性问题转化为最值问题，考虑了点P在短轴端点的特殊情况找到范围的一个极限值。有同学会假设当点P与椭圆上、下顶点重合时计算出一个离心率值等于√3/2，然后估计√3/2可能是离心率e取到一个最值，但是却不知道为什么。

我们可以继续深入研究，看看椭圆上任意一点P与焦点所成的角∠F1， PF2中，上顶点与焦点所成的角∠F1 BF2会不会有什么特殊性。大家可以猜想当P为短轴与坐标轴交点时，∠F1 PF2最大。

证明：如图所示，过上顶点B，F1，F2作圆O'，圆心O'与坐标原点O不一定重合，劣弧A1B和A2B上的点除B点在圆上其它都在圆外，根据同弦所对的圆周角大于圆外角，可得∠F1 BF2>∠F1 PF2。

由此，我们可以得到：椭圆上任意一点与焦点的连线所构成的∠F1 PF2中，当点P在短轴端点时∠F1PF2最大。

方法二运用了椭圆的定义，余弦定理及基本不等式

既然可以用余弦定理解三角形，我们也可以尝试方法三用正弦定理解三角形，并结合初中合比定理以及椭圆定义求解，同时运用了三角函数有界性。

方法四PF1和PF2是椭圆上点到焦点的距离，所以联想到用椭圆焦半径公式来求解。

方法五用到了焦点三角形面积公式S△PF1F2=b2.tan a/2以及（S△PF1F2）max=bc

这道题还有其他的一些解法，每个解法都有很多知识点的融合和扩展，教师应该利用核心题型，深入剖析、总结归纳解题的规律和方法，力求给学生以启发，引导学生注重纵横联系、发现共同的本质特征，实现知识的迁移，培养学生继续学习的潜力。

从高考数学最新的命题特点来看，试题明显从过去单纯的强调简单的观察能力和特殊技巧，转变为深刻地把握数学问题的本质及通性通法。因此，对于广大教师和学生来讲，适应高考复习新常态，必须由原来的题海战术为指导原则转变为向效率要分数，把机械的做题转变到深刻理解概念的内涵及外延，以及对解题进行归纳、总结、拓展、感悟的轨道上来，让教师和学生找到真正的“应试之道”。

参考文献

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