高中数列通项公式常用求法的模型构建

张维

摘 要：数列是高中数学的必修内容，数列问题对培养学生运算和逻辑推理等方面的能力均有很好的作用。通过建模，掌握好数列通项的基本求法，就打开了解决数列问题的大门。而看似繁杂的数列通项公式的求法，其实蕴含着很多规律性，本文基于数列通项公式的几种常用求法，总结出其模型构建方式，以求裨益于学生解决数列问题能力的提升。

关键词：数列;通项公式;常用求法;模型构建

数列问题是高考的热点内容之一，而在很多情形下，解决各种数列问题之关键就在于通项公式的求解，特别是在一些综合性比较强的问题中，通项公式的求解往往是解决数列难题的瓶颈。本文基于数列通项公式的几种常用求法，总结出其模型构建方式，以求裨益于学生解决数列问题能力的提升。

一、公式法模型构建

例1.[2018全国卷3]等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3.

⑴求{an}的通项公式;

⑵记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63，求m

解：（1）设数列{an}的公比为q，∴，∴q=±2.

∴或.

（2）由（1）知，或，

∴或（舍），

∴m=6.

模型构建：利用公式法求数列通项时要注意必须已知數列为等差或等比数列，其建模为：在等差数列{an}中，或;在等比数列{an}中，或，不能记错公式，先求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、定义法模型构建

例2.（1）数列{an}中，a1=1，an+1=an+2，求数列{an}的通项公式

（2）数列{an}中，a1=1，an+1=2an，求数列{an}的通项公式

解：（1）由an+1=an+2得an+1-an=2

∴数列{an}是以首项为1，2为公差的等差数列

∴an=1+（n—1）2=2n—1

（2）由an+1=2an得

∴数列{an}是以首项为1，公比为2的等比数列

∴an=1×2n-1=2n-1

模型构建：这种题型是直接利用等差或等比数列的定义来判断其数列是等差或等比数列，再求出其通项公式。其建模方法为：数列{an}中，若an-an-1=d，则{an}为等差数列;若=q（q≠0），则{an}为等比数列

三、累加法模型构建

例3数列{an}中，a1=1，an+1=an+3n-2，求数列{an}的通项公式

解：由an+1=an+3n-2得an+1-an=3n-2

∴a2-a1=3×1-2 a3-a2=3×2-2 a4-a3=3×3-2

……an-an-1=3×（n-1）-2（n≥2）

以上各式相加得：

=

∴an=（n≥2）当n=1时，a1=1也满足上式

∴an=

模型构建：形如an+1-an=f（n）型递推关系式求通项an.，用累加法求解，模型为：

①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和

需要注意的是：各式相加的项数是n-1项，最后需要验证n=1是否满足an

四、累乘法模型构建

例4数列{an}中，a1=1，，求数列{an}的通项公式

解：由得

∴……（n≥2）

以上各式相乘得：（n≥2）

当n=1时，a1=1也满足上式∴

模型构建：若数列{an}满足，其中{f（n）}前n项积可求，

则可用累乘法求an，同样各式相乘的项数是n—1项，最后需要验证n=1是否满足an。

五、前n项和Sn模型构建

例5数列{an}中，Sn为其前n项和，且Sn=n2+2n，求数列{an}的通项公式

解：由Sn=n2+2n得（n≥2）

∴an=Sn-Sn-1=n2+2n-[（n-1）2+2（n-1）]=2n+1（n≥2）

当n=1时，a1=S1=3也满足上式

∴an=2n+1

模型构建：利用，含Sn的递推式有两种转化思路：第一

种是an=Sn-Sn-1，第二种是Sn=an+Sn-1

六、构造法模型构建

（一）构造等比数列：

例6数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式

解：∵an+1=2an+1

∴an+1+1=2（an+1）

∴=2又a1+1=2，

∴数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列

∴an+1=2·2n-1=2n∴an=2n-1

模型构建（1）：形如an+1=pan+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设an+1+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk-k=q，即k=，从而得等比数列{an+k}

例7.数列{an}中，a1=1，，求数列{an}的通项公式

解：∵

∴

∴

∴数列是以5为首项，3为公比的等比数列

∴=

∴an=-

模型构建（2）：形如an+1=pan+qn+1（p≠1，pq≠0）型的递推式也可构造成等比数列，形式是，如何求A还是采用待定系数法

例8.已知数列{an}满足a1=1，a2=，若an（an-1+2an+1）=3an-1·an+1（n≥2，n∈N*），则数列{an}的通项an=（ ）

A. B. C. D.

解：由an（an-1+2an+1）=3an-1·an+1，得

anan-1-an-1an+1=2an-1·an+1-2anan+1，

，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以

所以（n≥2）

以上各式相加得：

所以所以，（（n≥2），

当n=1时，a1=1也满足上式所以故选B.

模型构建（3）：构造等比数列题型中还有一种含有相邻3项的递推式，往往可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得，然后再用構造法或累加法求通项。

（二）构造等差数列：

例9.数列{an}中，a1=1，，求数列{an}的通项公式

解：∵

∴

∴

∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列

=+n-1=n-∴an=（n-）2n

模型构建：形如an+1=qan+tqn+1型的递推式均可化为形式，则数列为等差数列.

数列是高中必修内容，数列问题对培养学生运算能力、逻辑推理能力、分析

问题、探索问题等能力上均有较好的体现，通过建模，掌握好数列通项的基本求法，就打开了数列问题的大门，而看似繁杂的求数列通项，其实质蕴含着很多规律性和方法性，规律和方法产生于具体的做题过程中，而通过建模总结规律和方法比做题更重要。

本文为2016年海南省教育科学规划课题“模型构建法在高考解答题教学中的运用研究”阶段性成果（项目编号QJY13516099）。

参考文献

[1]孙玉华.提高高中数学教学质量的探讨[J];数学学习与研究;2010年07期.

[2]张大均.陈旭.王增.解题策略训练对提高高中生数学应用题解题水平的影响[A];第九届全国心理学学术会议文摘选集[C];2001年.

[3]翁凯庆.析建构观下的两种数学教学模式[J]. 数学教育学报， 2001（2）.