分类讨论思想在中考数学解题教学中的应用分析

邵长亮

摘 要：分类讨论是归类整理思想的重要体现，分类讨论是中学数学中应用非常广泛的数学解题策略.在实际教学过程中分类讨论思想的应用对于帮助学生掌握数学知识的规律，对于提升学生的概括能力和条理性具有重要意义.文章针对分类讨论思想在中考数学解题教学中的应用进行了初步分析探讨。

关键词：分类讨论思想;中考数学解题;教学;应用

伴随着当下教育课程改革的进度持续深入，在中学阶段，培养学生的创新思维正在慢慢成为学校和老师们需要重点关注的方面。分类讨论思想是一种极其重要且常用的数学思想方法，也叫做“化零为整，逐个击破，最终合零为整”。它虽然只是一种基本的解决问题的思路策略，但其更是中考重点考察学生数学素养的内容之一，纵观近些年各省市中考的试卷，不难发现，它们都或多或少涉及对中学生分类讨论思想方法的考察，这更是突出对学生的数学能力考察。在中考数学的考察中，常见的分类讨论思想的运用情形分为以下几种：按数的特性分类;按事件的可能性分类;按图形的位置特征分类;按字母的取值范围分类等。

一、分类讨论思想的具体应用步骤解析

在中学时期的数学教学中，分类讨论思想并不是能够盲目应用的一种思想，而是需要按照一定的解题模式步骤进行解题的，因此，需要教师在每次应用分类讨论思想之前，对学生进行引导，结合题目与学生讨论具体的应用方式，所以，综合全方面是教师需要考虑的事，为了带领学生先确定研究对象，然后再进行讨论，最后得出想要的答案。教师在解题教学中，必须要用具体的例题要求为基础，结合理论为学生讲解如何应用分类讨论思想。先进行分类讨论使此例题可以得到明确的研究对象，然后再制定具体的讨论计划，最终落实讨论活动，有时需要结合题目的题境检验讨论结果是否符合。老师在一些复杂的讨论问题中需要帮助学生，引导学生对问题进行细化，再确定这个细化后的讨论对象，归纳总结各对象，最终得出综合性结论。

二、在解答中学数学问题中，分类讨论思想的应用

分类讨论在中学数学解决问题中应用十分广泛，其重点在于以下这几个方面：（1）在三角形解题中的应用;（2）在应用题解题中的应用;（3）在圆解题中的应用等。本文就其在解决数学题目中的三类常见题型的应用举例分析讲解，以供从事中学数学教育行业的教师们和有需要的同学们参考。

第一，应用分类讨论思想解决关于三角形的问题。教师合理应用分类讨论思维，可以使学生在三角形性质专题的学习过程中更加容易掌握该章节的相关只是点，以此提升学生的学习效率，从而达到增加学生解题成就感的目的，形成更加努力学习的良性循环。

例如，在已经知道一个等腰三角形的两边边长分别为5cm和6cm，试着求出这个三角形的周长和面积分别是多少？

在这一个问题当中，假如学生没有进行分类讨论再解题，只是主观认为5cm为这个等腰三角形的腰长，就很容易因此漏算掉另一种腰长为6cm的情況，从而在考试中失分。反观题目，在问题给出的已知条件中，并没有明确的告知做题者哪条边是底边，哪条边又是腰长。因此，在这种只有数据而没有明确对应关系的情况下，教师需要引导学生在解答这个问题的过程中应用分类讨论思想，这样才能得到完美的答案。而在这道题，需要学生把等腰三角形的情况分为两种：腰长为5cm，底边为6cm和腰长为6cm，底边为5cm这两种情况，最后再运用三角形的性质来进行检验是否两种情况均能成立。在学生对这道题进行解答的过程中，需要老师帮助彰显出分类讨论思维在其中的应用，这样才能体现出分类思想的重要地位，从而达到理想中的教学效果。

点评：这道关于三角形的问题是大多数学生的易错题，在学习三角形性质的过程中常常犯下的错误，绝大部分学生会因为题目给出的简单数据而掉以轻心，然后先入为主，认为只有一种情况，因此而忽略了第二种情况的可能。这就是学生对于分类讨论思想掌握得不够透彻的一个明显体现，所以，教师一定要在教学过程中慢慢培养学生养成分类讨论的思想，让学生今后解答三角形性质的这类问题时不会再犯下类似的错误。

第二，应用分类讨论思想解决关于生活类应用题的问题。应用题是中学数学重要的考查形式，也是学生得分的重点项目，因此对于应用题的得分多少一定程度上决定了数学成绩的高低，所以在此列举两个此类题型，帮助教师更好地对学生的分类思想的灌输。

例如：某玩具厂主要生产洋娃娃和玩具车，其中洋娃娃的定价是200元，而玩具车的定价是40元，为了增加销售量，工厂推出了两种采购方式，第一种是：买一个洋娃娃送一辆玩具车，第二种是洋娃娃和玩具车都按照市场实际定价的90%来销售，此两种优惠不能叠加使用。某学校小卖部想要订购20个洋娃娃，若干辆玩具车，那么怎么购买最合适？

分析：这一问题相对来说难度比较高，因为此问题题干中并没有对购买玩具车的数量进行明确，这样不同的玩具车的购买数量就会影响总体的金额，因此，在解决这一问题的过程中，就应该利用分类讨论思想。

解答：小卖部购买玩具车数量为x辆，则有一下两种购买方式，如果按照优惠方案一，就需要花费200x20+（x-20）x40=3200+40x元，若采用第二种优惠方案，那么小卖部总计需要花费的金额是（200x20+40x）x0.9=3600+36x元。此时可以设y=（3200+40x）-（3600+36x）=4x-400元，如果y>0，那么就有x>100，第二种方案优惠力度更大;如果有y=0，x=100，那么两种方案优惠力度一致;如果有y<0，则有20<x<100，那么第一种方案优惠力度更大。小卖部就应该采用第一种优惠方式来购买玩具。也就是说，当老板想购买100个以下数量的洋娃娃时，应该采用第一种优惠方式，若是想要买100个以上数量的洋娃娃，那么就应该选择第二种方案。

例如：暑假的时候，小明与小静两人骑自行车，同时从相距50千米的两地相向而行，小明的速度为15千米/时，小静的速度为10千米/时，问经过几小时，他们相距20千米？

分析：在这道题目当中，没有告诉解题者两人相距20千米是哪种情况，两人没相遇或者两人相遇后再继续骑行后的相距距离，因此需要应用分类讨论思想进行解题。

解答：第一种情况，两人还没相遇（此时两人所走的路程之和为（50千米-20千米），（50千米-20千米）/（15千米/时+10千米/时）=1.2小时;第二种情况，两人相遇后又各自前进至相距20千米.（此时两人所走的路程之和为50千米+20千米），（50千米+20千米）/（15千米/时+10千米/时）=2.8小时

点评：这道生活类的应用题便是对于分类讨论思想的完美运用的一种典型题，在讲解这个问题的过程当中，教师一定要展现出分类讨论思想的逻辑条理性，对于学生在今后解决此类问题时能够更加熟练得应用分类讨论思想这将是极其有意义。

第三，应用分类讨论思想解决关于圆的问题。在中学时期的数学教学中，图形知识里必不可少的一部分就是圆，但在解决圆的问题的时候，很多学生非常容易出現疏忽，从而引起解题时漏解，甚至出错的情况发生。因此，面对这种普遍现象，在开展圆的解题教学过程中，需要教师引导学生进行分类讨论，并且，教师也应该让学生自己动手画出图形，数形结合更有助于学生解题。

例如：已知，有两个圆，一个圆（⊙O1）的直径是30，另一个圆（⊙O2）的直径是40，此圆在A，B两点相交，公公和弦AB的长度是12，求出圆心距O1O2（精确到1）。

分析：在解决这一问题的过程中，没有给出具体的图形，因此需要学生考虑两个圆的圆心位于公共弦AB的同一侧，还是位于弦的异侧。

点评：学生需要在解题的过程中综合考虑各种情况，不能盲目解题，因此要对题目进行全方位的分析理解，只要没有任何的遗漏，并且每种情况都符合题境，那么这样的解题答案就是真正准确无误的。

三、结语

在中学时期的数学教学中，能应用分类讨论思想解决的数学问题不胜枚举，不过碍于篇幅的限制，本文只能列举一些具有代表性的题型，帮助大家分析理解分类讨论思想在中学数学解题中的应用方式。即使分类讨论思想对于学生来说有着重大的意义，但学生对于分类讨论思想的应用能力并不能一蹴而就，不能在很短的时间可以被教师很好的培养出来，因此，需要教师在中学数学的教学过程中一点点地引导学生用分类讨论思想考虑具有多种情况的数学问题，应该稳扎稳打，不能急于求成。帮助学生，以此来锻炼学生自己相关的应用能力，积累解题的经验，使学生能够在使用分类讨论思想时形成惯性思维，从而慢慢具备独立自主应用分类讨论思想解题的能力，以此来有效解决数学问题，让学生在不断做题的过程中提高自己的数学成绩便是一个显而易见的努力成效。对于中学生来说，能够在解题过程中灵活运用分类讨论思想，在中考或是以后的学习生活中都是不可或缺的，十分重要的一环。

参考文献

[1]徐银荷;;分类讨论思想在中学数学解题中的应用分析[J];数学学习与研究;2017年06期

[2]袁绍建;;分类讨论思想在中学数学解题教学中的运用探究[J];数学学习与研究;2015年24期