在课堂教学中帮助学生构建数学模型的策略

高红梅

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。在课堂教学中引导和帮助学生构建数学模型，能够将抽象的数学概念变得直观，将复杂的计算问题变得清晰，将规律探索变得生动，将解决问题变得丰富。因此，我们应该不断地探究与思考构建数学模型的策略，以践行课程标准的要求，为学生的数学学习打好基础。

数学概念的形成是一个渐进的过程，我们需要通过有效的教学方式，帮助学生在头脑中一步一步的积累对概念的认知。而建立数学模型，并通过数学模型支撑概念的形成，是概念教学中的一种重要的策略。教师应注重向学生提供感性材料，如学生熟知的生活实例、实物等，让学生通过观察、操作、分析、对比、抽象出对象的本质，从而形成概念。在形成概念时我们应注重引导学生建立相对应的模型。

例如，在教学“三角形三条边的关系”一节课时，一位教师通过学生所熟悉的教学用具，一步一步地帮助学生建立了数学模型，并通过数学模型，使学生理解了“三角形三条边的关系”的本质：

第一步，通过操作，初步认知。该教师将班级内的学生进行了分组，并为每个小组的学生分别准备了学具：分别为11厘米、7厘米、6厘米、4厘米的小木棒。规定可以从这四根小棒中任意选取三根，并让学生带着“通过拼、围，你发现了什么”的问题，通过小组合作，动手操作，互动交流去观察、探索和发现。通过操作，学生发现：取到的三根小棒有的能围成三角形，有的无法围成三角形。教师接着引导：“你发现在能围成三角形的三根小棒之间有什么规律？”学生通过探究，得出了初步结论：当“两边之和大于第三边”时就能围成三角形。

第二步，通过论证，深入建构。学生能够发现概念中的规律，这只是建立数学模型的第一步，发现规律后还应引导学生去质疑、去争辩，只有通过论证，才能让学生对数学模型的建构更加理解，也才能让概念变得直观。鉴于此，该教师又选择了长度分别为4厘米、6厘米、11厘米的三根小棒为一组，让学生去猜想这一组小棒能否围成三角形。根据第一步操作得出的结论，很多学生都认为可以围成三角形，因为“6+11>4”。同时，也有很多学生认为不能围成三角形，因为“4+6<11”。到了这里，学生就产生了疑问和争议，他们都想证明自己的观点是正确的。这时，教师就让学生放手去操作。在操作的过程中，认为能围成的学生边操作边开始了思考，并把任意的三根小棒拿出来一边围，一边比较，他们很快发现了新的规律：要想围成三角形必须“三组的两边之和都要大于第三边”，也就是必须“任意两边之和大于第三边”。这时，学生已经能够发现问题并深刻地理解了“任意”的意思，得出了“在三角形中任意两边之和都大于第三边”的概念。这样，通过一步一步的引导，学生逐渐建立了“任意两边之和都大于第三边”的数学模型。

计算教学是小学数学教学中的重点部分，在计算教学中，相关的知识点有很多，每种知识点对学生来讲都具有一定的抽象性。然而，计算教学中的很多知识点之间都是存在着一定联系的，在教学中如果能利用知识点之间的联系建立起数学模型，对帮助学生能够顺利地掌握这些知识点将会起到很好的效果。

例如，在教学“三位数乘两位数”时，教学重点是要让学生理解运算过程中的两个积都是怎样得到的，末位数应该怎么去确定位置，为什么要这样确定位置。在教学时，可以写出一个或者一组例题，让学生先尝试进行计算，然后让他们说一说是怎样算的，为什么这么算，每一步的运算依据是什么。学生通过小组交流可以逐渐把算法统一起来，得出他们自己的结论。通过对比、讨论，最终可以让学生归纳概括出乘数是两位数的乘法法则：第一步，先用乘数的个位上的数去乘被乘数，得数的末位和乘数的个位对齐;第二步，再用乘数的十位上的数去乘被乘数，得数的末位和乘数的十位对齐;第三步，把两次乘得的数加起来。这样，学生就概括出了三位数乘两位数的计算步骤，也就在计算法则的基础上构建起了关于计算的数学模型。

探索发现规律实际上就是培养学生的模型思想，发现一个规律就是发现一个模式。在教学中，可以从学生所熟悉的生活经验出发，引导他们经历将实际问题初步抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而加深他们对数学知识的理解。

例如，一位教师在教学“乘法分配律”一课时，让学生经历探索过程，自主构建模型。第一步，让学生尝试解决“用不同的方法买8套衣服要多少钱”的问题，然后引导学生观察等式，提问学生：“发现了什么？”第二步，让学生结合自己的发现尝试着写出两个不完整的等式，引导学生进行观察比较，并提问“又发现了什么？”第三步，让学生再举出一些这样的例子，引导学生感受到这样的例子是写不完的。这时，可以让学生观察黑板上的许多等式，并提问：“这些等式数据各不相同，但它们有一点是相同的，是什么呢？”学生认为：“它们都是把左边的算式先加再乘，右边则先把两个加數分别乘共同的因数后再加。”教师再追问：“能讲一讲相等的道理吗？”在学生充分感悟的基础上，师生再共同用语言来描述规律，这样就引导学生自主构建了教学模型，并抽象概括出了用字母表示的模型，即：（a+b）×c=a×c+b×c。

从具体的问题抽象、提炼、构建出相应的数学模型，并不是学生认识的终结。建立模型后，教师还应将数学模型还原到具体的数学情境问题中，使已经构建的数学模型得以扩充和提升。

例如，在教学 “三位数乘两位数”一节课时，在学生三年级时就知道的“单价×数量 = 总价”这一基本模型的基础上，一位教师安排了两道例题：1.篮球每个80元，买3个多少钱？2.鱼每千克10元，买4千克要多少钱？那么，这两个问题有什么共同点？教学中要如何建立学生的模型思想呢？首先，呈现例题后，教师要引导学生认真观察与思考，并说一说题中所描述的情境。通过描述，让学生知道这两道题是关于总价的实际问题，并明确这两道题都是已知每件商品的价钱，我们把它叫作单价，买了多少，我们叫数量，求一共需要多少钱，我们把它叫作总价。建立了这些概念后，让学生再看题，找一找题中的数学信息，明确第1题中出示的是篮球的单价是80元，数量是3个，也就是求3个80元是多少。第2题中出示的是鱼的单价是10元，买了4千克，也就是求4个10元是多少。因此，都用乘法计算。通过计算后明确单价、数量与总价之间的关系是“单价×数量=总价”，从而建立起了模型，并通过巩固应用加深了对模型的理解。在这一单元的后面还有对“速度×时间=路程”这一模型建立的学习。同时，在第六单元除数是两位数的除法中则是利用第四单元的乘法模型的变式模型“总价÷数量=单价”“总价÷单价=数量”“路程÷时间=速度”“路程÷速度=时间”来解决问题的。因此，这一模型思想的建立对后续这些相关的学习会起到很大的作用。

（责任编辑：杨强）