数学“形似神非”问题的教学价值

朱建明

摘要：“形似神非”问题是指一组外在形式相似或相关，而内在本质具有差异的问题。数学“形似神非”问题的教学价值有：突出概念内涵本质;厘清运算规则要求;感受性质内在差异;体验探究过程与方法。

關键词：“形似神非”问题初中数学教学价值迁移变式

“形似神非”问题，是指一组外在形式相似或相关，而内在本质具有差异的问题——可以看作一组迁移程度中等的变式问题。数学“形似神非”问题因与教学内容联系紧密，与教学过程深度融合，蕴含丰富的教学价值，具有整体思考、对比明显、层次丰富的特点，可以帮助学生克服思维定式，完善数学认识。下面，结合一些初中数学教学案例，谈谈数学“形似神非”问题的教学价值。

一、突出概念内涵本质

数学概念是数学思维的基础。在初中阶段，数学概念是教学的重难点。对于一些数学概念，教师可以设计相应的“形似神非”问题，引导学生从已有经验出发，通过辨析思考，透过表面形式，抓住内在本质，从而准确理解概念。

例如，教学苏科版初中数学七年级下册《7.3 图形的平移》一课，得出平移概念后，教师出示如下问题：

如下页图1，现有四组图形，每组图形中的第二个三角形可以通过第一个三角形平移得到吗？为什么？

这里，每组图形中的两个三角形的形状、大小均相同，但第二个三角形有的通过第一

个三角形翻折得到，有的通过旋转得到，只有第三组是通过平移得到的。这样的“形似神非”问题能使学生不断地审视平移概念的内涵，逐步理解其本质属性。

再如，教学苏科版初中数学八年级上册《6.1 函数》第一课时，得到函数概念后，教师出示如下问题：

（1）某校八年级5班有44个学生，每个学生在班上有一个座位，那么座位是学生的函数吗？为什么？

（2）如果实数x是y的绝对值，那么y是x的函数吗？为什么？

（3）如果一个多边形的边数为n，其内角和为W，那么W是n的函数吗？为什么？

函数是初中数学的重点内容，反映了变量与变量之间的相互依赖关系。这里设置的“形似神非”问题中都有两个变量，变量与变量之间都存在某种关系。但若仔细对照函数概念，便可发现：问题（1）中，学生和座位均不是数值;问题（2）中，对于正数x的每一个值，y都有两个值和它对应;只有问题（3）中，W是n的函数。通过对这些问题的辨别探讨，学生可以逐步加深对函数概念的理解。

又如，教学苏科版初中数学九年级下册《6.3 相似图形》第一课时，在思维拓展阶段，教师出示如下问题：

（1）依次连接一个直角三角形各边的中点，得到的三角形与原三角形相似吗？

（2）依次连接一个矩形各边的中点，得到的四边形与原矩形相似吗？

问题（1）中，依次连接一个直角三角形各边的中点，得到的三角形与原三角形相似。问题（2）中，矩形可以分割为两个全等的直角三角形，那么依次连接一个矩形各边的中点，得到的四边形与原矩形是否相似？答案是否定的。因为依次连接一个矩形各边的中点，得到的四边形是菱形，它的四条边只与原矩形的对角线产生联系。因此，从问题（1）到问题（2），不能简单地类比。这样的“形似神非”问题，能够帮助学生加深对相似多边形概念的理解。

二、厘清运算规则要求

初中数学包含许多运算的扩展，如从数的运算到式的运算、从解方程到解不等式等。每学一种运算，都有一套新的运算规则。设计“形似神非”问题，能够帮助学生正确认识和掌握新的运算规则，有效区别其与原有运算规则的差异，防止负迁移的产生。

例如，教学苏科版初中数学七年级下册《8.1 同底数幂的乘法》一课，得出同底数幂的乘法法则后，教师请学生辨析下列计算是否正确：

（1）x·x=x;

（2）a·a=2a;

（3）（-4）×（-4）=16;

（4）（a+b）·（a+b）=（a+b）。

其中的一些计算错误在学生学习同底数幂的乘法时十分常见，因为它极易与四则运算法则混淆。通过对这组“形似神非”问题的辨析，可以引导学生在纠错中不断巩固同底数幂的乘法法则，以便熟练掌握法则，有效防止出错。

再如，教学苏科版初中数学八年级下册《12.3 二次根式的加减》第一课时，得到二次根式的加法法则后，教师请学生辨析下列计算是否正确：

（1）√3+√2=√5;

（2）√3-√2=√1;

（3）√8+√2=3√2;

（4）√12+√18=5√5。

二次根式的加减运算是初中数学运算教学中的难点。通过设计“形似神非”问题，能将学生学习中的常见错误及早呈现，帮助学生有效区分它与以往学过的运算法则的异同，以便准确掌握运算法则。

三、感受性质内在差异

数学性质源于相关的数学概念，不同的性质体现了数学概念之间不同的根本属性，特别是对函数图像、几何图形的性质而言。设计“形似神非”问题，有助于学生感受这些性质的内在差异，更好地理解和掌握这些性质。

例如，教学苏科版初中数学八年级下册《11.2 反比例函数的图像与性质》第二课时，得到反比例函数的性质后，教师出示如下问题：

下列说法是否正确？为什么？

（1）对于两个函数y=-6/x与y=2x-3，y均随着x的增大而增大;

（2）对于两个函数y=6/x与y=-2x+3，y均随着x的增大而减小。

这组“形似神非”问题，通过对反比例函数和一次函数的图像、性质进行比较，从而清晰地区分它们之间的区别和联系，以此加深学生对反比例函数图像、性质的理解。

再如，教学苏科版初中数学九年级上册《2.4 圆周角》第三课时，给出圆的内接四边形概念后，教师出示如下问题：

（1）三角形都有外接圆吗？

（2）下列四边形有外接圆吗？如果有，请指出外接圆的圆心;如果没有，请举出反例。

①正方形;②矩形;③菱形;④平行四边形;⑤任意四边形。

（3）上述有外接圆的四边形的对角存在什么关系？

这组“形似神非”问题，从三角形外接圆问题出发，继而研究各种四边形的外接圆问题。其中，正方形与矩形有外接圆，其他四边形则不一定有。由此，为学生学习圆的内接四边形知识提供了丰富的案例，也为学生区分图形的性质提供了直观的素材。

四、体验探究过程与方法

有些“形似神非”问题是课堂探究的绝佳资源，这些问题能使学生经历数学探究具体而微的过程，同时感受从合情推理到逻辑推理、从特殊到一般等研究方法，体会分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想方法。

例如，教学苏科版初中数学七年级下册第9章《乘法公式与因式分解》的“小结与思考”时，在思维拓展阶段，教师出示如下问题：

如下页图2，已知A型、B型正方形纸片的边长分别是a、b，C型长方形纸片的长与宽分别是a、b。请用A、B、C型三种纸片各若干张，通过拼长方形的方法将下列多项式因式分解。

（1）①a+3ab+2b;②a+6ab+5b;③a+9ab+8b。

（2）①a+ab-2b;②2a+ab-b。

这组“形似神非”问题，引导学生经历操作、探索、解决问题的过程，探究拼图与因式分解的内在联系，让学生对实验现象进行分析，通过合情推理、直觉猜想等思维方式，获得拼长方形的规律性认识，感悟数量关系与图形面积关系的相互转化。其中，问题（1）的三个多项式可以通过直接拼长方形的方法进行因式分解，并且由此得出一般性规律，而问题（2）的两个多项式则要通过图形覆盖拼出长方形。这组“形似神非”问题可以丰富学生解决问题的思路方法。

再如，教學苏科版初中数学九年级上册《2.5 直线与圆的位置关系》第四课时，教师出示如下问题：

如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°。

（1）当CD=2 cm，AB=4 cm，BC=4 cm时，线段BC上是否存在点M，使∠AMD=90°？如果存在，求出线段CM的长;如果不存在，说明理由。

（2）设CD=p cm，AB=q cm，AD=r cm，那么当p、q、r之间满足什么关系时，直线BC上存在点M，使∠AMD=90°？

这组“形似神非”问题体现了数学研究的一般方法：从特殊或简单的情形着手，将研究方法类比迁移到较为一般或复杂的问题中去;而对一般或复杂问题，又可分多种情况讨论。就数学思想方法教学而言，本例具有很高的教学价值。

参考文献：

[1] 倪霞美，喻平.样例学习的心理学研究及其对中学数学教学的启示[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（6）.

[2] 张姝华，喻平.问题解决中迁移的心理学研究及其对中学数学教学的启示[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（9）.