以立体几何教学为例谈理性精神的培育

丁益民

摘要：数学教学中，让学生充分感受数学的理性精神所焕发的魅力是极有价值的。为此，要引导学生对数学知识的本质进行理性认识，还要通过一系列活动让数学的理性精神成为提升学生核心素养的教育之源。以立体几何教学为例，说明相应的策略有：把握认知的逻辑主线;经历定理的发现过程;经历概念的似真建构。

关键词：理性精神 立体几何 认知主线 定理发现 概念建构

M.克莱因在其著作《西方文化中的数学》中写道：“人们开始靠理性，而不是凭感官去判断什么是正确的。正是依靠这种判断，理性才为西方文明开辟了道路。因此，古希腊人以一种比其他方法更为高超的方法，清楚地揭示了他们赋予了人的理性力量以至高无上的重要性。”这段话揭示的是数学的理性精神对人类文明的影响。理性精神是数学区别于其他学科的显著特征。数学教学中，让学生充分感受数学的理性精神所焕发的魅力是极有价值的。为此，要引导学生对数学知识的本质进行理性认识，还要通过一系列活动让数学的理性精神成为提升学生核心素养的教育之源。下面，以立体几何教学为例，谈谈笔者的做法。

一、把握认知的逻辑主线

在义务教育阶段，学生对立体几何知识的认识仅仅局限于感性层面，因此，帮助学生形成理性认识是高中立体几何教学的重要目标。教材首先通过“运动”的方式（点动成线，线动成面，面动成体）让学生感知幾何体的生成，然后通过投影、直观图等方式将几何体“表达”出来。很显然，这些认识依旧停留于直观的感性层面。学生的认知通常是由简单到复杂、由低维到高维的过程，立体几何知识的学习，要经历“线线关系→线面关系→面面关系”的路径，这就是学生认知的逻辑主线。整个立体几何教学的设计与实施都应该沿着这条主线进行，始终保持教学组织的逻辑连贯性与前后一致性。在这条主线下，每次认知维度的提升都需要原有的认知维度来支撑，也都需要借助或回到原有维度的思维模式进行新的思维活动，逐步提升空间想象能力和逻辑推理能力。

比如，教学“平面的基本性质”，通常的顺序是：公理1→公理2→公理3及其三个推论。实际上，这样的教学顺序对学生的认知和抽象能力要求都比较高。学生最初接触平面的概念时，更多的是一种浅显、模糊的印象表征。若从公理1切入，则是让学生在浅表抽象的基础上进行更为复杂的抽象活动，这样必然增加认知的难度。实际上，三个公理的功能就是刻画欧氏几何中点、线、面的关系，点与面、线与面、面与面的关系分别对应公理3、公理1和公理2。有了这样的认识，就可根据逻辑主线进行教学重组：让学生先明白如何从理论上去确定一个平面，在此基础上进一步去研究直线与平面、平面与平面的相互关系，从而使认知活动从低维到高维拾级而上。于是，三个公理的教学顺序变为：公理3（三点）→推论1（点与线）→推论2、3（线与线）→公理1（线与面）→公理2（面与面）。调整后的教学顺序体现了认知的逻辑属性，清晰地铺设了由低维到高维的认知路径，使学生对平面性质的理解是具有逻辑支撑的理性认识。

二、经历定理的发现过程

定理教学是立体几何教学的重要内容，但是很多教师对其重视不够，“一个定理，几点注意”的现象不在少数。定理发现过程的缺失，直接影响了学生对定理的完整认知。

笔者曾经做过一个调查测试。测试题目如下：

如图1，表示以矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，求证：截面四边形EFGH为平行四边形。

测试对象为学习了立体几何知识的学生。测试结果是，一半以上的学生没有思路，想不到运用面面平行的性质定理来解决。究其原因，正是学生在构建定理时几乎没有经历理性的发现过程，取而代之的是教师的直接灌输。

因此，在教学中，要多一些让学生自主参与定理发现过程的机会，即便他们发现的“定理”不完全正确甚至错误，也无妨。只有让学生真切地经历定理的发现过程，充分暴露定理的探索过程，他们才能在探索中逐步认识到数学知识的内核，体会到数学学习的乐趣。这正是数学理性精神的意义与价值，也是齐民友先生所提倡的数学要体现“彻底的理性探索精神”。

为此，教学“面面平行的性质定理”时，可以设计这样两个问题：

问题1两个平行平面有哪些性质呢？

让学生独立思考，小组讨论，然后汇总展示小组成果：（1）已知两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行;（2）已知两个平面平行，则分别在两个平面内的两条直线平行或异面;（3）已知两个平面平行，则和其中一个平面平行的直线和另一个平面平行或包含在另一个平面内;（4）已知两个平面平行，则和其中一个平面相交的直线也和另一个平面相交;（5）已知两个平面平行，则和其中一个平面平行的第三个平面也和另一个平面平行;（6）已知两个平面平行，则和其中一个平面相交的平面也和另一个平面相交;（7）已知两平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则两条交线平行……这些性质的获得与呈现具有一定的思维线索（认知逻辑）：从平面内的直线到与平面平行的直线，到与平面相交的直线，再到与平面平行的平面，最后到与平面相交的平面以及有关的交线。如果学生的基础较差，不能获得这些性质，教师可以依据这样的思维线索进行引导。

问题2你准备选择哪个性质作为两个平面平行的性质定理呢？

让学生分组证明一下这些性质，并引导学生分析证明过程，观察这些性质之间的关系。学生能得到结论：性质（1）和性质（2）可以由平行的定义获证，而从性质（3）到性质（6），每个证明过程都需要用到性质（7）。因此，性质（7）是最基本的性质，将它作为两个平面平行的性质定理是最合理、科学的。

这两个问题的解决，不仅有助于学生从整体上建构数学知识，更重要的是让学生在数学建构中真切地感悟到数学的理性精神——这种理性精神体现为，数学知识不是事实的逐一堆砌，而是具有层次结构、逻辑关联的有机整体。

三、经历概念的似真建构

一些数学概念的产生经历了漫长的历史过程，因此，其抽象程度可想而知，要让学生在短时间内进行自主建构是不大可能的。为帮助学生进行有意义的概念建构，从而体会其中的理性精神，教师可对概念产生的历史过程进行意义提取、适度整合，再对其中的某些片段进行模拟，让学生尝试从数学家的视角进行似真的建构。学生在与历史相似的模拟情境中，产生认知的原动力，学习数学家的思维方式，形成理性的思维。这样的数学学习不仅是“意义赋予”，更是一种“文化传承”的过程。

比如，教学棱柱概念时，很多学生认为“有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫作棱柱”这样的定义是正确的。这样的定义与欧几里得的《几何原本》中的棱柱定义几乎一致，并且在长达2000多年的时间里都被认为是正确的，但它其实是错误的。教学中，可以让学生似真地经历棱柱定义的发生与发展过程，纠正错误的认知，理性地建构棱柱概念。具体可以设计如下三个活动：

活动1：尝试用自己的语言给棱柱下定义，并以小组为单位进行交流讨论，然后对定义进行归类总结（结果见表1）。

活动2：辨析各种棱柱“定义”的严谨性。

先呈现如下页图2所示的多面体来否定“定义”1。再呈现如下页图3所示的多面体来否定“定义”2。

同时，介绍有关的数学史：

欧几里得在《几何原本》第11卷中最早给出棱柱的定义：“一个棱柱是一个立体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个面是相对的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四边形。”由于欧几里得的影响，2000多年里，人们都没有怀疑过欧几里得的定义。直到1916年，美国数学家斯顿等人才发现该定义是错误的，并且举出了一个经典的反例。

接着，通過分析让学生认识到，“定义”3和“定义”4都关注了侧棱的特征对棱柱的影响，“定义”5则从运动的角度定义了棱柱。同时，指出这也具有历史相似性，并且适时介绍有关史实。

最后，总结历史上棱柱定义经历的三个阶段：（1）欧氏定义一统天下;（2）欧氏定义的改进;（3）动态定义的产生。

活动3：准确运用底面、侧面和侧棱的特征，获得人教版教材上的定义（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体）;通过运动的方式，获得苏教版教材上的定义（由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体）。

教材在编写时常常按照数学知识的逻辑体系进行，而这种逻辑体系下的知识呈现与历史真实的发展过程可能存在着不一致——弗赖登塔尔称之为“教学法的颠倒”。也就是说，按照教材体系进行的学习活动是把学习当成纯粹的逻辑推理展开的。这时，学生在进行数学建构时的那种直觉、猜想、试验等过程都会被淡化与隐藏——显然，在这样的过程中，学生很难体会到数学家的思维历程，学生的思维完全被教师的讲解与引导代替，学生只能支配低效的碎片化思维，很难体会数学的理性精神。

上述教学设计对数学史知识进行了简化与整合，以帮助学生自主建构棱柱概念：教师运用历史相似性对其中蕴含的思维进行“解密”，让学生认识到棱柱概念的形成经历了漫长的历史;概念的形成是最接近历史客观事实的建构过程。

最后，需要特别指出的是，立体几何教学应该以数学的逻辑严谨性为前提，遵循公理化规则和认知的规律，为学生设计从感性到理性循序渐进的学习过程，让学生逐步形成公理化体系下完整、连贯的逻辑思维能力，进而形成严谨的科学态度和必要的理性精神，这样才能提升学生的数学核心素养。

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“高中数学课堂教学中渗透数学文化的案例研究”（编号：Cb/2018/02/34）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 〔美〕M.克莱因.西方文化中的数学[M].张祖贵，译.上海：复旦大学出版社，2005.

[2] 张乃达.数学证明和理性精神——也谈数学证明的教学价值[J].中学数学，2003（2）.

[3] 俞昕.为什么将此性质作为定理？[J].数学通讯，2015（12）.

[4] 陈锋.基于历史相似性的棱柱定义教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2015（5）.

[5] 张乃达.数学：数学文化背景下的思维活动——由一个教学个案引起的思考[J].中学数学月刊，2009（2）.