例谈数学几何意义的应用

何小菊

摘 要：在数学习题教学中合理巧妙地应用数学几何意义，拓展各个知识点之间的联系，对习题教学进行更深层次的教学思考，让学生熟练掌握各项知识点.突出探究活动的开展，必将有利于学生数学素养的培养.

关键词：几何意义；数学思考；数学素养

1.问题呈现

例1（2017学年衢州二中高三模拟卷）已知函数 ，若存在非零实数 ，使得 成立，则 的最小值为（ ）

2.思路探索

解析：由 整理得 ，

设 ，由于 ，把问题转化为，若 是可使 在 上至少有一个实根的实数，求 的最小值.（*）

令 ，问题又转化为 在 上至少有一个实根，求 的最小值.

于是，可得（1）若方程 的两个根中有且只有一个根的绝对值大于等于2，则 ，即

（2）若方程的两个根的绝对值都大于等于2，则 ，即

注：在这里其他情形无解

作出（1）（2）的线性规划区域，由于 的最小值即为原点到直线 或 距离的平方. 的最小值是 ，此时 或

以上解析过程很好地利用了所求式子 的几何意义，利用数形结合的思想成功解题.

另解：在以上（*）中，令 ，则问题转化为已知 ，求 的最小值.即求原点到直线 的距离平方的最小值，即 ，而 ，则

以上求解过程虽然在形式上不同，但也是巧妙地应用了数学几何意义，从而让问题变得简单明了，让不同程度的学生都能去尝试解决这类难题。教育家裴斯泰洛齐认为：“教育的主要任务，不是积累，而是发展思维.”在数学习题教学中，理所应当地要把“数学思考”作为数学学习的一个重要目标，让学生在学习的过程中学会思考，发展“数学思考”，真正使学生具有可持续发展与终身学习的潜能，为学生一生的发展奠定基础。

原题背景：（2007全国高中数学联赛辽宁赛区初赛）若关于 的方程 有实根，则 的最小值为（ ）

3.方法推广

例2（2018学军中学高三数学模拟卷）已知不等式 对任意实数 恒成立，则 的最大值为（ ）

一般解法：令 ，则

（1）当 即 时， ，则 在上单调递增，不满足 恒成立；

（2）当 即 时，令 得 ，

在 单调递减，在 单调递增，

则 ，

则 ，

令 ，则 ，

在 单调递增，在 单调递减， ，即 ，选项为A

以上求解过程虽说完整，但学生往往会觉得运算繁琐、不愿耐心计算。著名心理学家皮亚杰指出：“所有智力方面的工作都要依赖兴趣.”而培养学生思维兴趣的途径，莫过于让学生直接体验到课堂思维劳动本身的乐趣.在习题教学中，让学生对探究活动有着积极的态度，“对数学有好奇心和求知欲”，因为好奇心和求知欲是发展兴趣的基础。在此基础上，还要让学生“体验成功的乐趣”，锻炼克服困难的意志，建立数学学习的自信.在上面恒成立的不等式当中，经过移项变形，然后和目标式子联系对比，又可以转化为利用几何意义求解的问题，这时候学生会豁然开朗.这一富有挑战性的问题必将唤起学生的内驱力，激发学生思维的兴趣，让数学思考更具有积极性和主动性.

另解：由已知 ，即曲线 始终在直线 的上方，而所求的式子 为直线在 轴上截距的相反数，结合图形知当曲线与直线相切时即为所求.由 ，令 得 ，所以切点为 ，代入直线方程得 ，

即

則 ，

在 上单调递增，在 上单调递减，

则

对于几何意义的应用，我们在线性规划问题中比较常见，但在平时的习题教学中也应该拓展各个知识点之间的联系，让学生熟练掌握各项知识点。通过灵活运用数学知识，找出解决当前问题的方法.如果我们在习题教学中，突出探究活动的开展，对习题教学进行更深层次的教学思考，必将有利于学生数学素养的培养.

参考文献：

[1] 章建跃，陈向兰.数学教育之取势、明道、忧术[J].数学通报2014，10.

[2] 林松，习题教学：学生数学思考的有效载体，上海中学数学2017年第3期