数形结合 建立模型

周建毅

【摘要】数形结合思想是小学数学教学的重要思想，掌握数形结合思想方法是学生学习数学知识的引路人，是培养数学能力的重要方法之一，是将解答数学实际问题由难变易的重要方法。数形结合思想让我们在教学中将抽象的数学语言与直观图形结合起来，将抽象的数学问题简单化、形象化，从而达到事半功倍的效果。

【关键词】数形结合；数学模型；渗透思想

数学是研究“数”（数量关系）与“形”（空间形式）的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定条件下可以相互转化。数形结合思想正是通过数与形之间的对应关系和相互转化来解决数学问题的一种思想方法。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的时候，又往往离不开“数”，使得抽象的数学问题直观化、复杂的数学问题简洁化。因此，学习数学思想的方法是培养和提高学生数学能力的重要途径之一。

小学是学生学习数学知识的启蒙阶段，在这一阶段，学生的思维发展水平还不够成熟，理解抽象的内容难度较大。运用数形结合的方法分析问题和理解问题，构建数学模型，有助于学生真正地解决数学问题，进一步提高学生的数学思维水平。所以，小学阶段教学中渗透数形结合思想，构建数学模型显得尤为重要。

下面就小学数学教学中如何构建数学模型，渗透数形结合思想，谈谈我的几点认识和体会：

一、利用形象直观的“形”帮助学生理解抽象的“数”，在数学课堂中建立“形→数”的数学模型

小学阶段是学生逻辑思维起步的阶段，他们的思维主要以具体形象思维为主，这时，建立“形→数”的数学模型非常适合中低年级的数学教学。我们可以借助于图形的直观性，让学生用多种感觉器官充分感知，将抽象模糊的数学概念和数量关系简单化、形象化，形成符合学生生活实际的数学模型，并在此基础上进行联想，让缺乏数学概念的孩子逐步建立数感。

例1，在教学“20以内的进位加法” （新人教版一年级上册）中的“9+2=？”时，教师可以通过摆小棒的方法去演示，如下图：

通过分解动作，一步一步地演示出9根小棒添上1根就是10根，再捆成1捆，然后加上1根，最后得到1捆和1根，这样就是11根了。这样的过程使学生清楚地感受到11是在圈外的2根中拿出1根给9，让9补足一个10，再加上余下的1根，从而得到9+2=11的答案。这样图形演示让学生对“20以内的进位加法”的认识有很强的提示作用，最后还要让学生也亲自动手去试一试摆小棒，多种感觉器官充分感知，对学生理解抽象的“数”，有事半功倍的效果。

例2，在教学 “一个数是另一个数的几倍”（新人教版三年级上册）这一问题时，设计了以下一个直观图形：

乙是甲的（ ）倍。

以上这个线段图充分利用直观形象的“形”去渗透抽象的倍数关系，帮助学生建立数学模型，从抽象到具体，整个教学过程运用了数形结合思想，一目了然，非常清晰。

在小学阶段，建立“形→数”的数学模型是最普遍的，每册教材中都有体现。低年段教材上，都配有相应的直观图形，借助形的几何直观性来阐明数学概念和数与数之间的关系；高年段教材，利用线段图表示复杂的数量关系，以借助直观的“形”帮助学生理解抽象的“数”，让我们在数学课堂中注重渗透数形结合思想的方法，建立“形→数”的数学模型。

二、渗透用定量的“数”去描述具体的“形”的数形思想，在数学课堂中建立“数→形”的数学模型

中高年级阶段的学生逻辑思维已逐渐上升到一定的水平，我们教学时应注意把具体的“形”放在主体的地位，逐步建立“数→形”的数学模型。通过这种课堂教学应用，学生的数学思维能力才能上升到更高的层次。

例3，在教学“人心脏跳动的次数随年龄而变化。青少年心跳每分钟约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多 。婴儿每分钟心跳多少次？”（新人教版六年级上册）这一例题时，我们首先让学生在认真读题和初步思考后汇报算式，并说明列式的理由。

学生的汇报与交流是逻辑思维水平发展的重要体现，这样的教学设计能让学生的直觉思维与初步计算出现矛盾，迫使学生去验证答案，解决问题，这时教师就要及时引导学生画线段图来分析：

青少年：

婴儿：

当线段图完成的时候，学生的争论也得到最终的答案了。因为有了线段图的合理支撑，学生可以想到两种方法去做，方法一，青少年75次有5个格子，即一个格子有75÷5=15次，而婴儿有9个格子，即15×9=135次；方法二：由图形可知，75次占“1”，则婴儿占“1+ ”，所以婴儿每分钟心跳次数为：75×（1+ ）=135次，但学生觉得方法二的算式更简单。

可见，根据学生的实际情况采取先主动思考，再引导画图的策略，能有效地将抽象的数量关系直观形象地表示出来，降低解题难度，增强学生的学习积极性，同时学生的逻辑思维能力也不断得到锻炼和提高。通过这种课堂教学应用，渗透数形结合思想的方法，建立“数→形”的数学模型。

三、“数”“形”互相变换，在数学课堂中建立“数→形→数”或“形→数→形”的数学模型

在某些复杂数学问题中，不能简单地以“形→数”或“数→形”去解决，而是需要“数”和“形”互相转化，也就是在课堂教学中，教师将根据问题的具体情况，把直观图形与数量关系互相转化，使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化，从而提升学生的逻辑思维能力水平。

例4，在教学“两辆货车4次能运完9600千克的货物，平均每辆车每次运多少千克？”（人教版三年级下册）这一道连除应用题时，我们就可以通过建立“数→形→数”的数学模型进行教学。

在教学这个题目时，要求学生用不同的方法写出算式，然后学生经过思考和交流，呈现如下精彩的答案，教师在旁边演示对应图形的变化，并验证答案： ① 9600÷4÷2 ，教师画出对应图形：

先平均分成4份，再将获得的一份平均分成2份；

② 9600÷2÷4 ，教师画出对应图形：

先平均分成2份，再将获得的一份平均分成4份；

③ 9600÷（2×4） ，教师画出对应图形：

先平均分成8份，再取出其中的1份。

这道例题通过数形结合思想，验证了学生的算式，让抽象的数量关系与直观的图形性质很好地进行转化，使解题思路和过程具体化，易于理解，这样可以更好地幫助学生形成数的概念和空间观念，建立“数→形→数”的数学模型，使学生深刻理解数学运算的意义。

例5，在教学“将两盒长20cm、宽15cm、高5cm的糖果包成一包，怎样包装才能节约包装纸（接口处不计）？”

（新人教版五年级下册）这一道应用题时，笔者让学生制作相应的纸盒作为学具，用摆一摆的方法，渗透数形结合思想，并完成表格。通过观察表格的数据，我们能悟出结论：重叠部分面积越大，长方体表面积越小，所需包装纸越节省，即长、宽、高的和越小，所需包装纸越节省。

这个教学过程让学生感受“操作→观察→抽象→想象→结论”的过程，从眼看到手动，从手动到思考，一步一步地感知具体事物的模型，建立“形→数→形”的数学模型，让数形结合思想在培养学生数学能力时得以渗透和加强。

综上所述，在小学数学教学中，能够渗透数形结合思想的地方还有很多，如笔算乘法、小数的近似数、百分数的意义等概念的推导，组合图形的计算等，运用数形结合思想让学生建立“形→数”“数→形”“数→形→数”或“形→数→形”的数学模型，充分体现到“数”与“形”之间的相互转化，发挥抽象思维和形象思维的协同作用，使学生的数学思维发展更具创造性。

参考文献：

[1]汪渭芳.“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J].小学教学参考，2010.6

[2]张卫星.小学数学教学中数形结合方式探索[J].内蒙古：内蒙古教育，2009.4

[3]陈红霞.以形助数，化难为易——试谈数形结合思想在小学数学教学中的应用[J].湖北：湖北教育，2010.