合理“设参”，追踪动点

顾珊岚

在近年高考中，求平面向量数量积的最值或取值范围的问题屡见不鲜.在一些与几何图形中的动点相关的向量数量积问题中，通过合理设参数来处理动点，能使解题思路清晰，解题过程流畅.

这里，我们就结合几道例题来谈谈具体运用.

例1 如图1，已知矩形ABCD的边长AB =2，AD=1.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ=45°，则AP·AQ的最小值为___ .

思路2：设∠BAP=θ（0°≤θ≤θ0其中tanθ0=1/2且θ0∈（0°，90°））.因为∠PAQ

1=45°，则∠DAQ=45°-θ，所以|AP|=2/COSθ，|AQ|=1/cos（45°-θ）.由平面向量数量积定义可得AP·AQ=|AP|·|AQ|·cos∠PAQ=2/cosθ·1/cos（45°-θ）·√2/2=4/2sin（2θ+45°）+1 ，当sin（2θ+45°）=1时，AP·AQ有最小值4√2-4.

点评 思路1通过建立平面直角坐标系，将PB和QD的长度设为两个参数，m，n，从而将动点P和Q的坐标表示出来，并求出所求向量的坐标，再用向量数量积的坐标运算建立目标.然后利用本题中角度的关系，寻找两个参数，m，n之间的等量关系，最后用基本不等式求出最小值;思路2将∠BAP的角度θ设为参数，用θ表示出AP与AQ的模，再利用平面向量数量积的定义直接建立关于θ的目标函数，最后用三角知识求出最小值.在解题过程中必须注意的是，确定所设参数的范围非常重要，

例2 如图3，线段AB的长度为2，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作等边三角形ABC，O为坐标原点，则OC·OB的取值范围是

思路：设∠BAO=θ，（0°<θ<90°），则∠CAx=120° -θ，因为AB =2，则有OA=2cosθ，OB=2sinθ，所以B（0，2sinθ），C（2cos θ+2cos（120° =θ），2sin（120°-θ））.由平面向量数量积的坐标运算可得OC·OB=4sin θsin（120°-θ）=4sinθ（√3/2cosθ+1/2sinθ）=√3sin 2θ-cos 2θ+1=2sin（2θ-30°）+1，因为O°<θ<90°，所以 -30°<2θ-30°<150°，所以 -1<2sin（2θ-30°）≤2，故OC·OB的取值范围为[0，3].

点评 本题的题意比较简洁明了，解题思路非常清晰，只需表示出点B，C的坐标.本题的难点就是设参数表示点的坐标，若设OA=a，OB=b，则A（a，0），B（0，b），但是只用以a，b这两个参数，很难将点C的坐标表示出来;若设∠BAO=θ，再结合已知条件AB =2以及△ABC是等边三角形，很容易就能求得点B，C的坐标，再用三角知识轻松解决问题.

例3 如图4，在直角梯形ABCD中，AB //DC，∠ABC=90°， AB=3，BC=DC=2.若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则AC·EF的取值范围是__.

思路1：设EC=mDC，CF=nCB（0≤m≤1，0≤n≤1），則AC·EF=（AB十BC）·（EC+CF）=AB·EC+AB·CF+BC.EC +BC·CF=mAB·DC+nAB·CB+mBC·DC+nBC·CB，又AB⊥BC，DC⊥BC，AB=3，BC=CD=2，所以AC·EF=6m-4n∈[-4，6].

思路2： 如图5，以BA为x轴，BC为y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（0，0），C（O，2），D（2，2），设E（x，2），F（0，y）.因为E，F分别在线段DC和BC上，所以x，y∈[0，2]，则AC=（-3，2），EF=（-X，Y-2），AC·EF=3x+2y-4.因为x，y∈[O，2]，所以3x+2y∈[0，10]，从而3x+2y-4∈[-4，6]，即AC·EF的取值范围为[-4，6].

点评 思路1通过向量分解转化为基向量来解决（基底转 化法）数量积，利用平面向量共线定理，设参数m，n将两个动向量表示为EC=mDC，CF=nCB，进而将EF转化成已知向量再解决问题.思路2通过建立平面直角坐标系，通过坐标运算来解决（建系坐标法）数量积，设参数x，y分别为EC，CF的长度，快速将两个动点E，F的坐标表示出来，再用坐标计算解决数量积问题.两种解题思路都非常清晰，解题的过程也都非常简洁.

例4 如图6，△ABC为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC=4，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一点，则PB.PC的取值范围是___.

思路1：如图7，在BC边上取中点M，则MB=1/2BC=2√3，连结PM，有PB·PC=（PM+MB）·（PM+MC）=|PM|2-|MB|2=PM2-12.设线段PM的长度为m，则|AM|-1≤m≤|ME|，即1≤m≤√3，所以PB·PC =m2-12∈[ -11， -9].

思路2：以A为原点建立如图8所示的平面直角坐标系，设P（x，y）（x2+y2=1且-√3/2≤x≤√3/2， -1≤y≤-1/2），又B（-2√3，-2），C（2√3， -2），则PB·PC一（-2√3-x，-2-y）·（2√3-x，-2-y）=x2 +y2+4y-8=4y-7，因为 -1≤y≤-1/2，所以PB·PC的取值范围是[-11，-9].

思路3：同思路2建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ）（-5π/6≤π≤-π/6），又B（-2√3，-2），C（2√3，-2），则PB·PC=（-2√3-cosθ，-2-sinθ）·（2√3-cosθ，-2-sinθ）=4sinθ-7，因为-5π/6≤θ≤-π/6，所以-1≤sinθ≤-1/2，故有 -11≤PB·PC≤-9.

点评 本题要处理的是网弧上的动点，思路1用基底转化的方法计算平面向量的数量积，将线段PM的长度设为参数，再利用圆的几何性质求出参数的范围，从而求出数量积的取值范围.思路2、思路3用建系的方法先确定动点P所在的圆方程，思路2采用了平面解析几何的常规设参数方法，将动点P的坐标设为（x，y），由已知条件不难得出参数x，y的取值范围;思路3利用三角函数的定义，将动点P的坐标设为（cosθ，sinθ），能从已知条件直接得参数θ的范围，快速解决问题.

由此可见，在解决与几何图形中的动点相关的向量数量积问题时，应因题制宜，合理选择参数处理动点，使解题思路清晰、解题过程流畅，从而学会灵活运用，这才是解决向量问题的最有效手段.