漫话高斯函数

仓万林

“数学王子”高斯小时候的故事，连小学生都知道.在许多人眼中，他就是数学的代名词.

高斯（Gauss，1777 1855），德国著名数学家，近代数学奠基者之一.如果推选世界十大数学家，高斯是其中的一位;如果推选世界三大數学家，高斯仍然位列其中.

一、高斯函数简介

我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].

取整函数y=[x]早在18世纪就为“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.和前面遇到的狄利克雷函数一样，高斯函数也是高中阶段我们会遇到的感觉“怪怪”的函数.

它的图象是由一些高低不同的水平线段组成，形状上像个阶梯，通常义称为“阶梯函数”.

二、高斯函数的应用

例1 （2017年北京顺义区二模）某学校为了提高学生综合素质、发展创新能力和实践能力，促进学生健康成长，开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人，当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人，那么，各班可推选候选人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为

（

）

A.y=[x/10]

B.y=[x+2/10]

c.y=[x+3/10]

D.y=[x+4/10]

答案 B.

解析 由题意，根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于7时再增加一名代表，即余数分别为8，9时可以增选一名代表，此时要进一位，所以x最小应该加2，最大要小于3，因此利用取整函数可表示为y=[x+2/10]，所以选项B是正确的.

点评 本题在处理时，除了用高斯函数性质来分析外，也可以直接特殊化确定结论.

例2 （2016年高考课标理科卷）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[0. 9]=0，[lg99] =1.

（1）求bl，b11，b101;

（2）求数列{bn}的前1 000项和.

解析 （1）设{an}的公差为d，据已知有7+21d=28，解得d=l，

所以{an}的通项公式为an=n.

b1=[lg1]=0，b11=[lg11] =1，b101=[lg101]=2.

（2）因为bn={ 0，1≤n<10， 1，10≤n<100， 2，1OO≤n<1 OOO， 3，n=1 OOO，

所以数列{bn）的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.

点评 原本简单的基本量运算问题，和高斯函数进行整合后立即变得很新颖.一是通过转化，化“新”为“旧”;二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”.要看清问题的本质，我们可以在阅读上多下功夫.

类比取整函数，我们不难构造出小数函数f（x）=x-[x].图象如图2所示：

例3 已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x- [x]在R上为

（

）

A.奇函数

B.偶函数

C.增函数

D.周期函数

答案 D.

解析 因为f（x）=x-[x]，

则f（x+1）=（x+1）- [x+1]=x+1- （[x]+1）=x-[x]=f（x），所以f（x） =x一[x]在R上是周期为1的函数，故选D.

1855年高斯去世，留下遗言把正十七边形（高斯第一个给出了正十七边形的尺规作图法）刻在墓碑上，母校哥廷根大学实现了他的遗愿，树立了以正十七棱柱为底座的墓碑，由于完整的十七边形，看起来会和圆难以区分，所以用正十七边形的各顶点代替，刻在墓碑上，以此纪念“数学王子”对数学的贡献.