漫话狄利克雷函数

李红

青年问禅师：“我觉得我在这个世界上是多余的，没有人需要我.”

禅师说：“就像你所学的数学，无论怎样复杂艰深的函数，都有适合的图象对应.你只是还没找到那个图象而已.”

青年沉思一番，提笔写下了狄利克雷函数的描述.

狄利克雷函数可以简单地表示为分段函数的形式：D（x）={1，x为有理数，0，x为无理数.在中学范围内，我们可以理解的基本性质有：（1）定义域为整个实数域R;（2）值域为{0，1};（3）函数为偶函数;（4）无法画出函数图象，但是它的函数图象客观存在;（5）以任意正有理数为其周期，但不存在最小正周期.

一、狄利克雷函数的简介

狄利克雷函数的出现是函数概念发展过程中的标志性事件之一.狄利克雷（1805- 1859），德国数学家，他是解析数论的创始人，很多小学生熟知的抽屉原理就是他在1834年提出的.

函数的图象就是函数的写真，狄利克雷函数图象是客观存在，但却无法画出的.

狄利克雷函数的出现，不仅给了我们一个无法画出函数图象的反例，而且极大地推动了函数概念的发展，使人们对函数的认识超越了1718年瑞士数学家约翰·伯努利提出的函数解析式定义的阶段.在1837年，狄利克雷認识到怎样去建立两个量x与y之间的函数解析式是无关紧要的，关键是建立它们之间的对应，从而创立了现代函数的正式定义：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值x，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.

同样，周期性是函数的另一个重要性质.具有周期性的函数，我们更关心函数的最小正周期.那么，具有周期性的函数是不是都有最小正周期呢？答案是否定的，狄利克雷函数是周期函数，但是没有最小正周期，因为不存在最小正有理数.

二、狄利克雷函数的应用所以，周期T=3，故a20=a2= √3.

点评 该问题以狄利克雷函数为背景，将周期性和数列性质进行有机整合，有韵味有变化，看似结构复杂却并不复杂.

例 2

已知函数 f（x）={ 1，x，为有理数，0，x、为无理数，出下列四个命题：

①函数f（x）是偶函数;

②函数f（x）是周期函数;

③存在xi∈R（i=1，2，3），使得以点（xi，f（xi））（i=l，2，3）为顶点的三角形是等边三角形;

④存在xi∈R（i=1，2，3），使得以点（xi，f（xi））（i=1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

其中，所有真命题的序号是_____（填上你认为正确的所有命题的序号）.

解析 ①若x为有理数，则 -x也为有理数，所以f（x）=f（x）=1;

若x为无理数，则-x也为无理数，所以f（x）=f（-x）=0.

综上有f（x）=f（-x），故函数f（x）为偶函数，①正确.

②若x为有理数，则x+3也为有理数，于是f（x+3）=f（x）=1;若x为无理数，则x+3也为无理数，则f（x+3）=f（x）=0，故3为函数的一个周期，即f（x）是周期函数，故②正确（易知，任何一个芷有理数都是它的周期）.

③设三个点（x1，0），（x2，1）（x3，0），且x1=x3= 2x2，x3-x2=√3/3，令x2=0，x1=-√3/3，x3=√3/3，合题意，③正确.

④假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1.若斜边AB在x轴上，点C在直线y=1上，故斜边AB=2，且点A，B的横坐标是无理数，则斜边AB的中点横坐标也是无理数，C的横坐标是无理数，纵坐标只能为0，不符合题意;若斜边AB在直线y=l上，点C在x轴上，故斜边AB=2，且点A，B的横坐标是有理数，则斜边AB的中点横坐标也是有理数，C的横坐标是有理数，纵坐标只能为1，不符合题意，即不存在符合题意的等腰直角三角形，④错误.

故正确答案为①②③.

点评 要解决好这个问题，我们首先要在阅读上下功夫.其中部分命题的判断中，结合狄利克雷函数性质进行了构造处理，或许数形结合效果会更好，不妨试试看.

文章到此应该结束了，但我仍然有意犹未尽的感觉，忽然想到了狄利克雷的一则轶闻.

狄利克雷一生只痴迷于数学事业，对于个人和家庭都是漫不经心的.当他的第一个孩子出生时，向岳父写的信中只写上了一个式子：2+1=3.

你懂的.

巩固练习

1.（福建卷）设函数D（x）={1，x，为有理数，0，x为无理数，则下列结论错误的是（ ）

A.D（x）的值域为{O，1}

B.D（x）是偶函数

C.D（x）不是周期函数

D.D（x）不是单调函数

2.f（x）=ax2+bx+c，g（x）=mx2 +nx+p，a，b，c，m，n，p为非零常数，其中b2- 4ac=a2，设d（x）={x，x为有理数 0，x为无理数 关于x的方程f（d（g（x）））=0的解最多有___个.

参考答案

1.C. 2.4.