强化实验活动的体验“预见”可能性的大小

郝思齐 韦伶明 唐剑岚

【摘 要】在小学阶段的数学学习中，“可能性”是探索概率与统计的开始，也是培育学生数据分析观念的重要内容。学生虽然不难理解“可能性”的概念，但对“可能性大小”“随机性”概念的理解往往是教学的难点。传统教学主要通过手工收集数据，聚焦可能性大小的计算结果，却弱化了实验活动体验，这不利于帮助学生理解可能性大小的本质，也很难培养学生数据分析的观念。研究者借助Hawgent皓骏动态数学技术，增强实验活动体验，强化利用数据分析思考问题的能力，让学生感受统计与概率在生活中的应用，并帮助理解随机性和“预见”可能性的大小，为小学数学的可能性教学提供参考。

【关键词】 可能性的大小;数据分析;数学实验活动

一、创课背景与问题

沪教版数学五年级下册“可能性的大小”是在学生初步感知可能性的基础上进行教学的，其理论基础也为学生在中学阶段学习概率相关内容做了重要铺垫。传统教学常常借助“抛硬币”“掷骰子”“转盘游戏”等数学实验，帮助学生获得可能性大小的感知。但由于有限的实验次数难以让学生理解随机性概念的内涵，又囿于模型本身的不可变式性，致使学生难以理解可能性大小的本质，产生诸如“理论判断一定与随机结果一致”和“等可能性偏见”等错误认知。针对以上问题，笔者试图通过Hawgent皓骏动态数学技术优化创课设计，增强实验活动的可视性、同步性、及时性，让学生从数据分析的角度“预见”可能性的大小。

二、创课设计与实录

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，数据分析是统计的核心。对小学生而言，数据分析的观念主要包括三个基本方面：体验随机性概念的基本内涵，具有用数据说话的基本意识，懂得用数据说话的基本方法[1]。基于此，笔者试图将Hawgent皓骏动态数学技术深度融入教学中，对“可能性的大小”教学进行创课设计，以期破解体验随机性概念的难点，纠正“理论判断一定与随机结果一致”和“等可能性偏见”等错误认知，提升学生数据分析的能力。

教学过程通过“抛硬币—掷骰子—转盘游戏”三个数学实验串联，将学生置于生活化的抽奖情境中，并要求学生选出最佳抽奖方式。首先，教师动态演示“抛硬币”的不合理性，并提出问题：“剩下的两种抽奖方式能解决我们的问题吗？”以任务驱动的方式，引发学生思考和辨析;接着，借助Hawgent皓骏动态数学技术模拟“掷骰子”的操作，并改变实验次数，同步显示实验结果，启发和诱导学生分析数据;然后，在转盘游戏中，操作教学积件10等分转盘，暗示其不公平性，以认知冲突引发学生动手修改，保证设计方案的公平性;最后，小结反思三种解决问题方案的本质，进一步理解不确定事件发生可能性大小的本质。根据上述设计思路，以下是“可能性的大小”教学片段的创课实录。

师：小圆、小方、小镜一起参加商场的抽奖活动，游戏要求3个人一起参加，中奖的人可以得到1份神秘大礼，为了公平起见，该选取抛硬币、掷骰子、转盘游戏中的哪种抽奖方式呢？

小圆：这3种抽奖方式都是不确定事件，该怎么选呀？

师：我们依次来试试吧！先来看看抛硬币，但抛硬币只有两种可能情况，3个人就不能同时参加了。（操作积件展示抛硬币的动画效果）

小圆（疑惑）：那怎么办呢？

师：别着急，我們来看看剩下两种抽奖方式能不能解决我们的问题。

小方：我想选掷骰子。

师：小方同学想选掷骰子，那么这种抽奖方式是公平的吗？

小圆：又该怎么评判游戏的胜负呢？

师：我们知道一个骰子有6个面，那就让数字1、2代表小圆，3、4代表小方，5、6代表小镜，抛掷骰子出现对应数字的人获胜，一起来试试吧。先抛掷10次，可以发现有的数字一次都没有摇到，有的同学也许会觉得不公平，那我们抛100次试试。如果抛1000次，2000次呢？随着抛掷次数的增加，6个面出现的次数又有什么样的变化呢？可以看到，6个面出现的次数也越来越接近了。（用Hawgent皓骏动态数学技术模拟掷骰子的动手操作环节，如图1所示）

小方：那可以说这6个数字出现的次数是相等的吗？

师：这个答案早在300多年前，数学家雅各布·伯努利就已经告诉我们了。对于抛硬币、掷骰子这类事件，每种情况出现的次数是随机的，但随着实验次数的增多，也会逐步呈现出必然的规律。具体到掷骰子中，这个必然的规律就是，实验次数越多，6个数字出现的次数也就越接近。

小圆：我明白了，掷骰子有6种可能情况，而且每种情况的可能性大小是相等的。

小方：我也懂了，也就是说掷骰子是公平的，我们可以选择这种方式抽奖。

师：大家都很棒。掷骰子有6种可能情况，每种情况的可能性大小是相等的，所以每个人都有2种可能性相等的情况，这是公平的。

小镜：那最后一种转转盘的抽奖方式，是公平的吗？

师：我们来看看，商场给的这个转盘被等分为10份，有蓝色、黄色、绿色三个区域，大家都想要什么颜色呢？

小圆：我要蓝色。

小方：我要黄色。

师：确定吗？小心中了商家的圈套。小方、小圆各占3份，那么绿色的部分就是小镜所占有的了，仔细看一看，小镜有几份呢？（引导学生发现问题）

小圆：这样不公平，小镜比我们多了1份！

师：那么，请大家动动脑筋，这个转盘要怎样修改才能使3个人获胜的可能性相等呢？（启发学生动手修改转盘）

小镜：我们可以把转盘等分成9份，每个人占3份，这样就好啦。（同步操作积件，单击“平均分的份数”，输入数字“9”，再依次单击“小圆的份数”“小方的份数”，输入数字“3”，如图2所示）

师：小镜同学想法很好，这样每种颜色的对应区域各占了3份，游戏就公平了。我们返回来看一下，转盘修改前后都有3种可能情况，却因为绿色区域份数的不同，造成了可能性大小的差异，但修改后转盘的可能性是相等的。因此，我们最终可以选择的抽奖方式有两种，一种是掷骰子，另一种就是修改后的转盘。对于这两种方式，每人获胜的可能性的大小是可以预见的，都是机会均等和公平合理的。

师（追问）：获胜的可能性一样，是不是3个人掷到骰子的数字、转到的颜色次数都一样，都会获胜？

小镜：当然不是。可能性一样，不代表每一次掷到的数字、转到的颜色次数都一样，还要看运气。

师：对。两种方式都有可能性和规律性，但随机性永远不会消失。

三、创课评析与反思

此次创课基于《课程标准》中对数据分析观念的培养要求完成设计，以Hawgent皓骏动态数学技术深度融入数学实验活动，破解教学难点，最终帮助学生从数据分析的角度“预见”可能性的大小。具体教学过程依托三个数学实验，对应教学片段中的三个环节。第一环节，提出问题“如何选择抽奖方式”，动态展示“抛硬币”。将其作为行为活动的经验起点，让学生初步感受“等可能性”的本质内涵。同时，以“抛硬币的不合理性”为思维活动的逻辑起点，帮助学生理解题意。

在“掷骰子”的实验环节，教师借助Hawgent皓骏动态数学技术，依次演示抛掷骰子10次、100次、1000次、2000次的随机结果，并在抛掷过程中直接生成条形统计图，方便学生对比6个面出现的次数。这里借助Hawgent皓骏动态数学技术视觉化活动进程，一方面，实验次数由10次一直增加到2000次，突破了传统课堂对实验次数的限制，更符合“以大数据探寻规律”的数据分析观念[2];另一方面，实验过程与统计过程合二为一，不仅节省了教学时间，也更易使学生关注到骰子6个面出现的次数“趋于稳定”，但又不完全相等的过程。在此过程中，通过区分对比次数，使理论判断与随机结果之间的差异直观化，让学生明白实验数据会基本稳定地趋近概率，由此揭示数据的随机性与规律性。这样学生就在层层递进、不断深入思考的过程中完善认知，理解等可能性的数学本质。

在“转盘游戏”的实验环节中，针对修改前的转盘，一些学生会认为“三种颜色都有可能，那么它们的可能性就一样大”，由此产生“等可能性偏见”[3]。这时，由于实物转盘模型的不可變式性，传统教学手段几乎无法在课堂上快速、准确地比较三种颜色面积的大小，因此“如何引导学生发现不公平，并给出公平的方案”成为教学难点。基于此，将Hawgent皓骏动态数学技术深度融入教学中。首先，设计将转盘分成10等分，同时辅以提问，“仔细看一看，小镜有几份呢？”这里没有直接拆分区域、比较大小，而是采用等分的方式，使可能性大小得以量化，使学生关注的焦点转变为数据，继而通过“数一数”，便可轻易判断转盘的公平与否;接着，教师启发学生修改转盘，动手操作积件进行分割、涂色，避免了重新“画一画”的冗余操作;最后，再次强调三种颜色的对应份数，以数据验证猜想，确定公平的设计方案。这一实验环节，学生以数据为切入点，发现游戏的不公平，最终又回到对数据的分析，验证修改方案的公平性，真正意义上达到从数据分析的角度强化了对“可能性大小”的理解。

当然，“可能性的大小”教学过程并不是完全死板教条的，需要结合学生的接受能力和掌握情况做适当调整。重要的是，对于教师，教的过程要注重强化实验活动的体验，培养数据分析的能力。而对于学生，学的过程则要理解生活现象背后的数学本质，掌握解决概率和统计问题的思想方法。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]斯瑶. 体验数据随机性，培养数据分析观念：以“掷一掷”为例[J]. 教学月刊：小学版（数学），2018（3）：35-37.

[3]侯德峰，黄琰.依托数学实验 培养数据分析观念：以沪教版《数学》第十册“可能性大小”为例[J].小学数学教师，2019（1）：76-80.