微积分在中学数学中的应用

骆丽玲

摘 要：微积分是数学发展史的重要历程点，为近代数学的发展提供有利的基础。微积分是高中数学的重要教学内容，帮助培养和发展学生的数学思维。中学数学的一些复杂的问题有时可用微积分解决。本文通过若干典型例题，探讨微积分在中学数学中证明不等式、恒等式、求面积、求最值等方面的应用。

关键词：不等式;微积分;中学数学

一、不等式

例1[1]若，且，

则.

证明：设，则

于是在是凹函数，所以有

函数凹凸性定理，它联系到函数的二阶导数，是对利用导数证明初等不等式的进一步研究。应特别注意，若对于任意有，则在I上是严格下凸（上凹）函数。

基于函数的凹凸性定理，有Jensen不等式。定理是：若在区间I上的下凸（上凹）函数，则对于任意的和满足的，有成立.[2]

变式1：若，且，则.[3]

证明：设，则于是在是凹函数，

所以有，

即.

变式2：若，且，则.

证明：设，则于是在是凹函數，所以有，即.

二、恒等式证明

例2求证：.[4]

证明：设，关于x的导数得

在上式中令x=2，整理得原等式.

例3求证[1]：

证明：

令，则f'（x）=0，于是f（x）=c，由，所以，c=sin2α.

三、求最值

例4（全国1卷.理16）已知函数，则的最小值是____.

解：

因为，所以时，f'（x）<0，f（x）单调递减;

时，f'（x）>0，f（x）单调递增.

所以时，有最小值，

即时，f（x）有最小值，最小值为.

微积分是数学发展史的重要历程点，为近代数学的发展提供有利的基础。微积分是高中和大学的衔接内容，相对高中来说，大学的内容就比较抽象，若是高中未涉及这部分的内容，可能会导致很难适应高等数学的内容。高中数学解题中，加强高中数学学习微积分的积极影响，建立良好的基础，感受微积分在中学数学中的应用，让我们的解题的思路更为开阔，不至于陷入对问题的束手无策的困境，有时可用微积分方法解决问题，帮助我们获得某种启发，而寻找一些灵活的方法。

参考文献

[1]张奠宙.现代数学与中学数学[M].上海.上海教育出版社，1990.

[2]许文文.利用导数法证明初等不等式的一些研究[D].西安：西北大学，2018.

[3]李三平.高观点下的中学数学[M].陕西.陕西师范大学出版总社有限公司，2013.

[4]丁向前.微积分思想在中学数学中的渗透[J].数学教学研究，2008，（8）：4-5.