从2019年全国Ⅰ卷概率与统计解答题谈2020高考概率统计高考备考建议

钟雪媛

【摘要】近4年高考全国Ⅰ卷的理科数学的概率与统计的解答题背景来源于生活实际。2018年全国Ⅰ卷的理科数学概率与统计解答题位于20题，2019年全国Ⅰ卷的理科数学概率与统计解答题放在压轴题的位置。该试题的解答对数据分析，数学抽象，数学运算，逻辑推理，数学建模有一定的要求。本文从简要分析两道高考解答题的基础上，就高三复习如何促进学生深度学习，提出几点高考备考建议。

【关键词】概率统计;试题分析;备考启示

一、引言

概率统计是近代数学的重要分支也是高中数学的重要内容。近4年高考全国Ⅰ卷的理科数学的概率与统计的解答题背景来源于生活实际。概率与统计解答题在2018年全国Ⅰ卷的理科数学位于20题，而在2019年理科数学全国Ⅰ卷放在压轴题的位置。解答题综合考查了学生通过审题提取有效信息，分析数据，建立数学模型，数学运算的能力。而回归考纲，《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）》考纲主要考查考生统计内容中的随机抽样，用样本估计总体，变量的相关性，包括线性回归分析，独立性检验;概率则考查随机事件的概率，古典概型，随机数与几何概型，离散型随机变量的分布列、期望、方差，正态分布。统计考查重点是应用回归分析、独立性检验思想方法和用样本估计总体，概率则重点考查古典概型，离散型随机变量的分布列、期望和方差。所以，本文以2019年的高考理科数学全国Ⅰ卷为载体，着重从分析解答题中，深度探索高中概率统计中高考备考的复习对策。

二、試题分析

1.试题呈现

（2019年全国高考Ⅰ卷理科数学第21题）（见下图）

2.考查思路分析

该题以生物科技试验为背景，由概率值解释试验方案的合理性。将概率与数列结合，综合性强，作为压轴题，具有创新性。对学生而言，对其数学应用、创新也有新的要求。审题时，如何从403个字符里抽象出数学模型，逻辑推理的能力.突出了学生对数学应用能力的考查。该题以分布列，数列证明作为基础知识，通过离散型随机变量分布列，递推关系证明等比数列的方法以及累加法求通项的方法基础知识方法。对该题中的条件“当甲药治愈比乙药治愈多4只或当乙药治愈比甲药治愈的多4只时，则停止”“在每轮试验中，若甲药治愈且乙药未治愈则甲得1分，乙得-1分”，反之“若乙药治愈且甲药未治愈则乙1分，甲得-1分”“均治愈或者均未治愈则两药为0分”进行信息分析整合.通过第二小题第一问“（）为等比数列”，通过观察问题结构为的形式，利用累加法求出第2问中的。对学生对数列递推关系的掌握，也即对其分析和解决问题的能力要求较高。

3.解答思路分析

依据信息，第一问由题意可知X表示的是一轮试验中甲药的得分，又因为题目中的约定，易知X的所有可能的取值为：-1，0，1。利用甲药与乙药得分的“相关性”求解概率，再根据独立事件的概率计算公式和离散型随机变量分布列等基础知识写出分布列。第二问分为2小题，第1小题由“， ，（i=1，2，…，7）其中，，，结合第1小题的提示“（i=1，2，…，7）为等比数列”运用构造法得出等比数列的证明。第2小题由第1问中递推公式应用累加法求通项得出，再结合题干中“假设，”，总结出该试验方案的合理性。

4.解答过程

表示在初始4分的情况下，甲药累计得分为4时，认为甲药比乙药更有效的概率仅为，而事实上确实如此，因为乙药的治愈率大于甲药，故这种试验方案是合理的。

三、2020高考备考启示

1.把握高考命题方向

高考备考中，对真题的研究与解读，把握备考方向显得尤为重要。通过对近4年的高考概率统计解答题的背景，命题方向，问题解决的难点突破分析对比，全国卷对概率统计的考查由偏重概率到概率统计结合，到偏重统计到概率统计与其他知识点结合。按照表格，19年概率统计解答题结合数列，难度较之18年的题目也是增加，预计2020年的概率统计试题依然会保持近4年的命题思路，推陈出新。

而对于学生，近几年的高考概率统计解答题字符数多，阅读量大，对于信息数据的处理能力要求就更高了.而试题背景多为生活实际问题，应用性强.从命题角度思考，试题对样本数据的概率及其分布进行考查，考查统计规律，结合其他知识点对数据进行检验分析。那么，在概率复习教学中要立足随机试验，重点是随机变量，概率模型的选取。而在统计复习中要体现统计的过程，结合统计案例的分析，统计模型的理解，突出统计思想。

2.研读考纲，回归教材，注重概率统计与其他知识点的结合

命题专家专业知识深厚，对于知识点的串联更加游刃有余，结合时事热点，契合考纲命制出创新性题目。而近几年的高考概率统计所结合的知识点不稳定，甚至会考查“冷门”边角知识。这也要求我们在平时复习中要注意真题中暂时考查频率较低的正态分布、条件概型、残差图、拟合效果等。近几年的试题基本是生产方案决策问题，方案判断问题，注重与其他知识点的结合。例如，2019年的高考全国Ⅰ卷解答题与数列证明相结合，往前一年，2018年全国Ⅰ卷则对函数、导数内容综合考查，2016年的试题与不等式内容结合。这也启发教师在高考复习备考中要重视概率统计与其它专题的知识结合，比如，函数、导数、不等式、三角等综合性练习，在备考其他专题知识学习中也要强化知识之间的联系，举一反三，深度学习。

3.关注统计图表、样本数字特征与事件类型和概率模型

高考概率统计解答题在考查随机变量分布列，数学期望和样本的数字特征可能通过频率分布直方图，折线图，茎叶图的形式出现。这样有利于考查学生的数学数据分析与处理能力，在高考备考复习中建议先对每种统计表进行了解，如何看表，如何从表中提取有效信息，再结合实际问题分析，也会大大降低难度。

样本的数字特征，首先要理解数字特征的含义，例如，众数、中位数、平均数、方差、标准差的表示的含义，要求学生能根据实际问题选取合理的特征进行说明。建议在平时复习中能让学生能够理解数字特征的含义，加强学生的利用数字特征来描述数学问题。

事件，理解互斥、对立事件及独立事件的含义，根据具体问题，分析属于哪种事件，再结合不同事件类型计算概率.对于概率模型，有超几何分布、二项分布、正态分布等。而理解好事件模型对于选取概率模型也是有帮助的。所以，在高考备考中，对于把握概念，如何更好地理解事件类型，从何角度理解（如集合角度理解独立事件与互斥事件）？如何分辨二项分布与超几何分布？首先试验是相互独立的，常见的信息有，有放回的抽取，即每次抽取概率不变，选二项分布;又或者题目样本总数很大的字眼的时候即使不放回，也要选二项分布。当题目中出现N次完全相同重复试验并且试验是相互独立的，样本个体有限，不重复抽样，我们简称有放回的抽样，那么求试验成功的次数选用的概率分布模型是超几何分布。

四、结语

2020年全国高考作为一个分界点，也是新的开始，概率统计地位的提高，也是发挥核心素养在教学育人中重要体现。作为一线教师，更需要在深度解读全国卷的同时，也要深化对核心素养的理解。

参考文献：

[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2019.

[2]林月娥.从四个关注突破高考概率统计解答题[A].课程教育研究，2019：163.