高阶数学认知能力离不开关联与拓展

蒋林花

摘    要：如何让学生的认知能力更具有可观测性，并准确地识别学生所处的认知能力是一线教师的一大难题.教师可以运用SOLO分类理论识别学生所处的认知能力，以关联与拓展认知水平为目标，通过设计并调控教学活动，来提升学生的数学认知能力.

关键词：认知能力;SOLO分类理论;关联与拓展

课堂有效性的本质就是要提升学生学习新知识和应用新知识的能力，通常称之为“认知能力”.为了实现课堂的有效性，教师往往需要识别学生的认知能力来达到因材施教的效果.而如何让学生的认知能力更具有可观测性，并准确地识别学生的认知能力是一线教师的一大难题.

实际的教学过程，包括教师的“教”和学生的“学”.在课堂教学之前首先是教师对教学进行设计，教师所设计的教学内容与活动，可以反映出教师的认知水平，也决定了“教”的效果，从而决定学生“学”的效果.

对于“怎样的两数之和等于这两数之积”这个问题，教师需要找到尽可能多的解题思路与方法，再结合学生的学情与认知规律确定教学内容和目标.SOLO分类理论的五个认知水平，其中的关联与拓展水平反映学生的高阶认知水平.因此，下面基于学生各阶段应该具备的认知结构，呈现的是初中学生问题解决中的几种高阶认知能力.

一、找规律题型——与小学关联的“关联结构水平”

学情分析：在小学四年级，学生已经学习了“异分母分数的加、减、乘、除、通分、约分”等知识.初中学生既有直观形象思维，又有一定的抽象逻辑思维.

教學目标：初步理解问题“怎样的两数之和等于这两数之积”.

相关知识点：能理解分数的意义;会进行整数与分数之间的转化;能进行分数的混合运算;探索给定情境中的规律或变化趋势.

【原始问题】怎样的两数之和等于这两数之积？

这个问题属于开放型问题，学生会关联到小学掌握的信息，能取一些特殊的数运用尝试验证法来寻求答案，而且学生只会从自然数中去找，满足的数极少，因此绝大多数的学生处于单一或多元结构水平.为了提升学生的认知水平，教师需要设计一些情景问题.

【问题1】 [0+0=0×0];

[2+2=2×2];

[3+32=3×32];

……

请你写出满足上述规律的一个等式.

问题1是将抽象的原始问题改编成可以通过观察等式的特征来找规律的题型.学生在仔细观察后容易发现规律，找到下一个等式为[4+43=4×43].但这样的设计对学生认知水平的呈现比较局限，哪怕学生能想到多个等式，教师也无法了解到.

【问题2】 [0+0=0×0];

[2+2=2×2];

[3+32=3×32];

……

（1）请你至少写出3个满足上述规律的等式.

（2）请你思考满足上述等式中的两个数有怎样的特征？

问题2的两个小问题的设计从易到难、循序渐进，符合学生的认知规律.

第（1）小问引导学生举具体的例子，如果学生能写出多个等式，说明他能达到多元结构水平.学生在进入初中后，对于用代数式表示规律的题型，部分学生还是无法解决，主要是他们想一步到位地直接得到规律，但其实很多这样的习题是需要先举几个特殊的例子，才能找到规律，再进一步用代数式表示规律.

若要将学生对这个问题的认知水平从多元结构水平提升到关联结构水平，那就需要将满足这个等量关系的两数，有机地整合成一个整体，以此关联到其他知识，从而解决同类问题.第3个等式中出现分数，让学生能关联到分数，从而思考含分数的等式中分子与分母的变化，得出一个统一的规律——“两个数的分子相同，分母之和等于分子”.

二、韦达定理——与初中关联的“拓展结构水平”

学情分析：初一的学生正处于直观形象思维为主，为抽象逻辑思维的转变作铺垫的一个阶段.初一上册在学了“代数式”之后，可以用字母表示代数式或等式.

教学目标：进一步理解问题“怎样的两数之和等于这两数之积”，能用代数式表示等式，并求解.

相关知识点：分式方程与整式方程的解法，以及两者之间的联系.

对于原始问题，初一年级的学生能将“数”关联到“用字母表示数”的知识，再结合归纳推理或演绎推理得到表示规律的等式.（1）归纳推理法：[0+0=0×0];[2+2=2×2];[3+32=3×32];[4+43=4×43];…… 通过观察一些特殊性等式的特征，再归纳得到一般性的等式[n+nn-1=n×nn-1].（2）演绎推理法：原始问题中，“等于”的左边是两数之和，“等于”的右边是两数之积，分别用[x]和[y]表示这两个数后可得到一般性的等式[x+y=xy]，再得到一些具体的、特殊的等式，但此时学生只会用代入验证法.初一学生对于该问题已经能达到关联结构水平，进入初二后，学生在学习一元二次方程后，学生能将“两数之和、两数之积”关联到韦达定理的“两根之和、两根之积”，从而达到拓展结构水平.

【教学片段1】

学生解法：设[x1，x2]是一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的两个根，即[x1+x2=-ba ，x1·x2=ca .]

[∵]要使[x1+x2=x1·x2]，

[∴][-ba=ca ].

去分母并化简得，[b=-c]，即[b与c]互为相反数.

[∴]原方程可化为[ax2-cx+c=0].（还是无法求解）

师：一元二次方程[ax2-cx+c=0（a≠0）]的左右两边同除以[a]得[x2-cax+ca=0]，

设[ca=k]，则原方程可化为[x2-kx+k=0]，接下来能求解了吗？

生：能，用求根公式，[x=-k±k2-4k2].

师：这个一元二次方程一定有解？

生：哦 ！不一定，要满足[k2-4k≥0].

师：一元二次不等式的解法我们初中阶段不学，能挑战一下吗？

生：（兴奋）我知道了！左边因式分解得：[kk-4≥0]，因为“同号为正”，所以

[k≥0 ，k-4≥0]或[k≤0 ，k-4≤0 ，]解得[k≥4]或[k≤0].

师：你们思维的迁移非常厉害！一元二次不等式是高中数学的知识范畴，我们同学们居然有能力根据已有的知识自己学得.那现在怎么来确定[x1，x2]？

生：[k]可以取不同的数，这样的[x1，x2]的值就有无数对了.

师：对！在实数范围内，对于每一个在范围内的[k]值，都能得到所对应的两个根，并满足“怎样的两数之和等于这两数之积”.例如，当[k=5]时，[x=-5±52]，则[x1+x2=-5-52+-5+52=-5]，[x1·x2=-5-52×-5+52=（-5）2-（5）24=-5]，

[∴-5-52+-5+52=-5-52×-5+52].

起初学生达到了关联结构水平，将该问题关联到韦达定理后，尝试从理论的高度来分析问题，但卡在方程的变形，在教师引导后，可以让学生根据已有的知识对方程变形、换元、求解，以此解决同类问题，而且这种解法能将“一、找规律题型——与小学关联的‘关联结构水平”中问题2的有理数范围内的等式扩大到实数范围内的等式，從而达到拓展结构水平.

三、参数方程与函数——与高中关联的“拓展结构水平”

学情分析：初二的学生，一方面学习了方程与方程组的解法，另一面学生的思维已经从直观形象思维为主慢慢向抽象逻辑思维为主的转变.能知道列出的[n+nn-1=n×nn-1]和[x+y=xy]这两个等式是方程，分别属于分式方程与二元二次方程，学生会通过尝试解方程来寻求答案.

教学目标：进一步理解问题“怎样的两数之和等于这两数之积”，能列出方程并求解.

相关知识点：参数方程;反比例函数的平移与图象.

【教学片段2】

学生解法：去分母得，[nn-1+n=n2]，

化简得，[n2-n+n=n2]，

移项并合并同类项得，[0=0].

[∴]该方程有无数个解.

师：通过解方程我们无法具体找到这两个数，所以令这两个数为[x，y]，由等式[n+nn-1=n×nn-1]可发现它们之间的联系，引入参数[t]，得到参数方程[x=t ，y=tt-1t∈R]，变形可得[x=t ，y=1t-1+1t∈R]，这样你能联想到什么知识？

生：函数.

师：对！将方程代入消元后可得到函数[y=1x-1+1]，自变量在分母中的函数是——？

生：反比例函数.

师：我们可以把它看成由反比例函数[y=1x]平移得到的函数，怎么平移？

生：（开始复述函数平移口诀“左+右-，上+下-”）向右平移1个单位，向上平移1个单位.

师：请你画出该函数图象（如图1），结合图象可知，我们所求的两个数[x，y]就是——？

生：这个函数图象上所有点的坐标[（x，y）] .

起初学生达到关联结构水平，将该问题关联到分式方程，求解得到无数个解，无法得到具体的解.对此，教师引入高中的参数方程，引导学生将参数方程转化为反比例函数，如果就方程与曲线讨论x，y由参数t决定，并结合图象求解，就达到拓展结构水平.

四、不定方程与区域——与大学关联的“拓展结构水平”

学情分析：初中阶段不学二元二次方程，缺乏将[x+y=xy]关联与化归到不定方程和函数的能力，对于方程与函数之间的联系没有完全掌握.初二学习结束后，已学习完一次函数和反比例函数，学生正处于抽象逻辑思维为主的一个阶段.

教学目标：进一步理解问题“怎样的两数之和等于这两数之积”，能列出二元二次方程[x+y=xy]，能将同解的方程转化为函数问题去求解.

相关知识点：不定方程;方程与函数之间的联系;一次函数与反比例函数的图象与性质.

【教学片段3】

师：方程[x+y=xy]是什么类型的方程？

生：二元二次方程叫不定方程，其通解（[a]，[aa-1]）为问题中的两个数.（这名学生的回答利用了大学数论知识，显然达到拓展结构水平）

师：同学们也许会想，这样的数对是怎么确定的？

生：由方程[y=k ，y=kk-1]（[k][∈R]）图形的公共点确定.

由此可见，学生的知识点、思想与方法均有很大拓展.课后进一步探究平面区域[x+y>xy]及[x+y

学生解决不了的数学问题，主要是因为学生无法将知识点关联起来才无法找到解题思路，而数学问题往往是要综合多个知识点才能解决的，因此达到关联结构水平是解决问题的关键，也是五个认知水平的核心水平.这就需要教师在平时课堂教学的设计与实施过程中，教会学生找到知识点之间的纽带与桥梁，并在解题分析的导问中反复强化.

从教学案例中，我们可以发现SOLO分类理论的这五个水平是层层递进的：认知水平越高，学生学习知识的效果就越好，不仅能有机整合解决问题的思路，还能对问题抽象概括来解决同类问题并深化问题，这样优质的教学效果又能让学生对同类问题或进一步的问题得以解决，达到更高的认知水平，所以认识水平和学习效果是相互统一、相辅相成的.而提升学生的认知水平离不开教师设计高水平的教学活动，因此，教师认知水平高度决定着设计的教学内容与活动的认知水平高度，从而决定了教师“教”与学生“学”的效果.