同形继承导致错误舒竹

曹晶晶 林玲郜

【摘   要】在数学学习中，存在着将已有经验中的某种形式直接应用于其他对象中的现象。这反映出学习者在学习过程中会产生“同形继承”的心理。在“数与代数”领域中有四种常见的“同形继承”类型：“一一对应”的继承、从“个位”算起的继承、“从左到右”的继承和“分配律”的继承。教师利用学生的“同形继承”心理可以设计“自我否定”的教学活动，将错误变成有效的教学资源。

【关键词】数与代数;同形继承;错误

“同形继承”是人们普遍存在的一种心理，简单地说就是照“老样子”做。依据这样的心理做事，有时是正确的，有时却是错误的。因此研究数学学习中的“老样子”对于学生学习的影响是必要的。

一、什么是“同形继承”

1830年，剑桥大学数学教授乔治·皮克科（George Peacock）在《论代数》（A Treatise on Algebra）一书的前言中首次提到了继承性（Permanence）一词，主要研究在算术中的运算规律，如何继承到代数运算中。皮克科指出，这样的继承应当遵循“同形继承原理（The principle of Permanence of Equivalent Forms）”[1]。原文的說法是：无论是什么形式的代数，当符号在形式上是普遍的，而在数值（正整数）上是特殊的时候是同形的，那么当符号在值上和形式上都是普遍的时候也应当是同形的。[2]同形继承原理强调了形式与内容这两者之间的关系。形式是可以直观感知到的东西，例如运算规则和性质;内容则是隐于形式的成分，例如取值。同形继承原理想表达的意思就是如果形式是相同的，那么隐于形式之下的内容是与形式相一致的。

对于“permanence”一词的翻译需要进行说明。我国学者对于“permanence”一词有不同的翻译。例如，李跃武和金英姬在“等价形式的永恒性原理——皮考克的符号代数”一文中将其翻译为“永恒性”;李宏魁在翻译美国思想家M·克莱茵的《数学：确定性的丧失》一书时，将书中涉及的“permanence”一词也翻译为“永恒性”;郜舒竹分别在《关于“[（-8）13]”的跨国讨论》与《数学课程中“人为规定”的思想性》这两篇文章中介绍皮克科的原理时将其翻译为“继承性”。

《牛津高阶英语双解词典（第6版·大字版）》[3]中对于这个词的解释是：一种持久的状态。结合对原理的理解，运算性质和规则由算术领域扩展到代数领域的过程应该是一个动态的过程，所以对这个词的翻译除了要保留原有的意思外，还应该体现跨领域的动态过程。因此在对该原理进行阐述时，沿用郜舒竹教授提出的“继承性”的翻译，此后凡涉及“permanence”都将使用这样的翻译。

在19世纪，这一原理的形成标志着数学家对形成新数学概念的态度发生了变化，并为20世纪新理论的快速扩张开辟了道路。之后，这个原理随着四元数的产生而失效，因为四元数没有分配律。虽然同形继承原理在数学上失去了“公信力”，但是同形继承原理反映出数学家在建构数学理论时有一种“同形继承”的心理。这种心理与学生在数学学习过程中迁移“形式”的学习心理是相符的。正是由于这种“同形继承”的心理导致学生在数学学习中出现了迁移形式的学习现象，这种学习现象也可以称为“同形继承”的现象。其中有一类“同形继承”的现象违背了同形继承原理，它的内容与形式并不一致，这就导致学生在继承形式的过程中出现了错误。因此，“同形继承”这个词用在可见的书写形式上是一种现象，而导致这个现象出现的原因就可以叫作“同形继承”心理。

二、同形继承导致错误

学生在“数与代数”的学习中有四种比较常见的“同形继承”类型，分别为：“一一对应”的继承、从“个位”算起的继承、“从左到右”的继承和“分配律”的继承。

（一）“一一对应”的继承

“一一对应”的继承，其特征表现为学生在数学学习的过程中遵循形式上的对应关系，将学习对象的构成元素进行有序的分配。

例如，观察表1中的错题。错题1，学生在比较分数的大小时，均是分别将分数的分子与分母“一一对应”进行比较;错题2，学生在比较小数的大小时，则是分别将小数的整数部分与小数部分“一一对应”进行比较。可见学生在计算分数比大小与小数比大小时都继承了自然数比大小“一一对应”的形式，这种同形继承的类型就是“一一对应”的继承。

（二）从“个位”算起的继承

从“个位”算起的继承，其特征表现为学生在学习的过程中习惯于从“个位”开始思考问题。例如，在北师大版教材三年级下册“分桃子”一课的教学中，教师首先为学生创设了猴妈妈给两只猴子分68只桃子的情境，由此引发问题：怎样分才公平？学生根据题意很容易就列出式子：68÷2=。之后教师让学生用多种方法探索68÷2。在这个过程中学生有多种生成，表2所示的两种生成符合“同形继承”的特点。

通过表格的呈现可以看出，二者继承的已有经验不同：生成1继承了学生已有的关于表内除法的经验，生成2继承了学生已有的乘法竖式的经验。尽管生成1与生成2源于不同的已有经验，通过对比二者继承的具体内容可以发现，这两种除法竖式的书写思路实际上具有共同的形式：均是从个位开始试商，都符合从“个位”算起的形式。

（三）“从左到右”的继承

“从左到右”的继承，其特征表现为学生在数的运算过程中习惯于按照从左到右的顺序进行思考。例如，图1中的一元一次方程，等号左侧是有乘法、减法和括号的混合运算，学生应该用乘法分配律进行计算。观察学生解方程的步骤可以发现，学生解题的第一步是继承了同级运算的运算顺序，按照从左到右的顺序进行计算。显然，“6×7-x”与“6×7-6×x”相比在形式上更趋近于6×（7-x），因为它们元素的个数相同，这样计算是追求形式上的一致。

（四）“分配律”的继承

在“分数加减法”这节数学课中，教师发现学生有如图2所示的生成，通过观察该生的书写可以发现他把加号分别分配给了分子和分母。

又例如，初一的学生在学习完全平方公式之后，做相应的计算题时会出现如图3所示的错误。观察学生给出的答案可以发现，该生是将指数“2”进行了分配，分别分配给了2x和y，可见学生继承的已有经验形式为：（2x+y）×2。

虽然以上是学生在不同的学段学习的不同内容，但是将学生的两种计算思路进行整理可以发现二者有共同的地方。

如表3所示，学生在计算的过程中都是将同一元素分别分配给了另外两个对象。由此可以发现，这样的计算形式与学生学习过的乘法分配律的形式是一致的，因此可以将这种继承的形式称之为“分配律”的继承。

三、“自我否定”的学习活动

由于数学学习中普遍存在“同形继承”的现象，学生在学习中会产生“同形继承”的心理。因此教师在教学设计之前首先应该清楚在新的学习活动中，学生的已有经验是否会导致“同形继承”心理的产生。针对这样的心理，教师可以设计让学生经历“自我否定”的学习活动。

“自我否定”的学习活动是指在新知识的学习过程中，学生经历自己否定自己的学习活动。在教学过程中，教师可以首先利用学生的“同形继承”心理引发学生的错误推论，然后通过设计合理的学习活动让学生自行判断推论的正误，而后再开展新知识的学习。这样的学习活动是将学生的错误视为教学资源，让学生在错误中学习。接下来，将结合人教版五年级上册“平行四边形的面积”的教学来介绍这种方法。

步骤一：利用“同形继承”的心理引发学生的错误

学生在学习平行四边形的面积时容易受长方形面积的影响，将平行四边形的面积计算公式记成相邻两边长度相乘。那么，教师在教学平行四边形面积求法之前，可以利用学生的这种“同形继承”的心理引发学生的错误推论：平行四边形的面积等于相邻两边长度乘积。

步骤二：教师布置学习任务

教师可以布置学习任务，请学生分小组讨论，比较两个邻边对应相等的平行四边形面积大小，并为学生提供画有两个平行四边形的方格纸（如图4所示）和直尺。

步骤三：学生经历“自我否定”的学习过程

在活動的过程中，学生用直尺分别测量两个平行四边形的长边和短边，发现这两个平行四边形的长边和短边分别对应相等，学生根据推论就会认为这两个平行四边形的面积是相等的;然而学生在直接数格子的过程中又会发现，左边的平行四边形的面积明显比右边的平行四边形大，由此学生就会发现自己的推论是错误的。

学生用两种方法比较两个平行四边形的面积时会发现，尽管这两个平行四边形的相邻两边长度一样，但是实际的面积却不一样，进而否定了自己的推理。让学生经历自己否定自己的过程，能让他们在没有学习平行四边形面积求法之前，就深刻地理解用求长方形面积的方法来求平行四边形的面积肯定是不对的，同时还能激发学生想要学习平行四边形面积求法的愿望。

从以上案例可以看出，学生通过这样的学习活动，可以在自己否定自己的过程中加深对知识的理解。他们发现照“老样子”做往往是不对的，进而引发“怎么办”的心理需求，也就是产生了进一步探究的动机。

参考文献：

[1]George Peacock.A Treatise on Algebra（Vol.Ι）[M]. London：Cambridge University Press，1830.

[2]M·克莱因.数学：确定性的丧失[M].李宏魁，译.长沙：湖南科学技术出版社， 2007：206.

[3]霍恩比.牛津高阶英语双解词典（第6版·大字版）[M].石孝殊，等，译.北京：商务印书馆，2005：1277.

（首都师范大学初等教育学院   100048）