“简洁”但不“简单”

周卫红 赵东

一、研究背景

百分数在生产、生活中有着广泛的应用，深入理解百分数的意义，对于学生正确解答有关百分数的实际问题具有重要作用。但多年的教学经验告诉我们：“简洁”的百分数，学生理解起来真的不是那么“简单”，这其中也有教师的原因。

（一）教师在教学中用“套路”进行教学

1.用“套话”分析百分数

对于“我国人口总数占世界人口总数的22%”这样含有百分数的句子，教师上课时会重点让学生进行关键句的分析，分析的“套话”基本是两种：“22%表示我国人口总数占世界人口总数的比例”“把世界人口总数看作单位1，平均分成100份，我国人口总数占其中的22份，是22%”。第一种解释只是对关键句的重复，第二种解释套用分数的意义解释百分数。这两种解释都没有对百分数的本质进行深入理解。

2.按“套路”解决问题

分数、百分数问题“内容复杂，类型繁多，变化多样”，是小学阶段令教师和学生头疼的一类问题。如这样一题：“学校图书室去年有图书1400册，今年图书册数增加了10%。今年图书室有多少册图书？”如果把题目中的“关键句”或问题稍加改动就可以变化出多种不同题目，学生往往困惑于该用乘法还是用除法，该用1+10%还是用1-10%。教学中教师花费大量的时间要求学生掌握一套问题分析流程：“抓关键句—找‘单位1—画线段图—读出图意—列式计算。”为了确保学生进行正确的解答，有教师甚至总结了一套“万能法则”，即：单位1×分率=分量;分量÷分率=单位1;分量÷单位1=分率;单位1已知用乘法;单位1未知用除法……这些解题“套路”反而给学生的学习造成负担，不利于学生利用数学概念的本质去分析和解决问题。而且在中学，多侧重于用方程解决百分数问题，根本不提“单位1”的事儿。

（二）学生对百分数的理解不够全面

1.对百分数的大小认识上有局限

学生受已有知识和经验的影响，在心理上不接受小于1%和大于100%的百分数。

在上图这道题的测试中，有10%的学生出现了错误。学生认为，300%有些怪怪的，不大理解它的意思。如果写成“高铁的速度大约是普通客车速度的3倍”，就能理解了。将我国森林覆盖率写成大约是100%的学生也不在少数，说明学生不能从本质上理解百分数表示的是两个量的关系，不能自觉沟通份、倍、分数、比这些概念之间的区别和联系。

2.对于变换形式的题目不知所措

面对一些与份数、倍、分数、百分數、比这些概念相近的题目，尤其是逆向解决的问题，学生常常不知所措。如“马尔马拉海是世界上最小的海，面积为11000平方千米，比我国太湖面积的4倍还多1400平方千米，你知道太湖的面积有多大吗？”“单位1”不明显的题目对于学生来说，理解题意也有一定困难，如：“爸爸带芳芳去新加坡旅游，芳芳发现，每次吃完饭结账时，账单上的钱数已包含了餐费的10%的服务费。如果账单上的钱数是123.2元，那么你知道芳芳他们的餐费是多少钱吗？”究其原因，学生不能准确把握题目中两个量“比较”的关系。

二、百分数的实质分析

（一）抓住百分数概念的核心

在各个版本的教材中，对百分数的概念基本上是这样定义的：百分数表示一个数是另一个数的百分之几，百分数也叫百分率或百分比。如，15%表示一个数占另一个数的[15100]。笔者认为，百分数的核心是：表示两个量相除的比较关系，这两个量可以是部分与整体，也可以是部分与部分。学生在学习时对于百分数中“两个数”的理解是比较笼统的，还不能有目的地找到百分数反映的是哪两个量之间的关系。

怎样简洁地表示出百分数中蕴含的“两个量”的关系？怎样利用百分数概念的本质帮助学生提高分析问题、解决问题的能力？怎样抓住百分数概念的核心进行单元整体教学？

（二）整体教学的设想

学生理解百分数的意义，既是进一步学习百分数相关内容的必备知识，又是分析与解答相关实际问题的重要基础。同时也是沟通与份、倍、分数、比这些概念的联系和区别、完善认知结构的重要内容。

基于这样的思考，我们开展教学的思路是：抓住题目中的关键句，把百分数中所反映的关系明朗化，外显成分数表达的关系式，把复杂关系简单化。如“账单上的钱数已包含了餐费的10%的服务费”可以让学生简单地表达为：

[服务费餐费]=10% ， [总费用餐费]=1+10%

“甲数比乙数少10%”可以表示为：

[少的数乙数]=10%， [甲数乙数]=1-10%

从百分数的认识到实际问题的解决，教师整体把握对百分数中两个量“关系”的深入挖掘，教学不用“套路”，把百分数的应用过程变成对百分数概念不断深化的过程;学生全面感知，学习的内容更有系统性、条理性。

基于以上思考，笔者进行了整体把握百分数单元教学的实践探索。

三、实践过程

我们从整个单元中选取三部分主要内容进行实践，三节课紧紧抓住百分数的意义。在具体操作中，都是让学生从繁杂的背景中重点挖掘：题目中的百分数是谁和谁比？谁占谁的百分之几？并以分数形式呈现两个量的关系。三节课具体是这样安排的。

（一）“百分数的意义”一课

通过突出百分数是两个量“比较”的关系，找到题目中的两个量，包括部分与整体的关系，两个独立量之间的关系。

环节一：由课前研查的问题引入。

出示问题：“六（7）班和六（10）班，哪个班学生的视力情况比较好？”

请学生以小组为单位进行探究并汇报。

第一小组：只比较近视人数。

第二小组：用分数结果比较。

第三小组：用百分数结果比较。

师生对话得出：要想知道哪个班的视力情况比较好，只看近视的人数不行;用分数能比较出来，但是不简洁;而比较“近视人数占总人数的百分之几”，既能准确比较出两个班学生视力的情况，又很简洁。

板书：[近视人数总人数]

（设计意图：在探究中初步感知百分数表示的是两个量的关系。）

环节二：多种形式理解百分数的意义。

（1）理解部分与整体关系的百分数。

资料1：我们小组有4人，男生占75%。

资料2：人体对鸡蛋蛋白质的吸收率高达98%。

（2）理解两个独立量之间百分数的关系。

书法社团人数是剪纸社团人数的200%。

（设计意图：用线段图的形式进一步帮助学生理解百分数是可以大于100%的。）

（3）深入理解百分数表示的是两个量比较的关系。

（设计意图：渗透数形结合的思想，让学生感知百分数与扇形统计图的联系，进一步感悟百分数的意义。）

环节三：请学生用自己的理解表达百分数。

出示学生作品。

图形表达：

文字表达：

一个数（可以是一个物体或是一群人）占总数的百分之几;

一部分占整体的百分之几;

一个队是另一个队的百分之几;

一个数是另一个数的百分之几……

（设计意图：教师基于学生的理解，设计开放的情境，进一步利用不同的形式强化学生对百分数的认识。）

（二）“生活中的百分率”一课

本节课的设计旨在在复杂情境中让学生理解百分数的意义，为解决百分数实际问题打下基础，构架百分数的认识与解决百分数实际问题的桥梁。

具体操作形式为：借助线段图，利用[（  ）（  ）]的形式让百分数（百分率）所表述的两个量的关系明朗化，并能根据题目进行联想。

环节一：衔接。

沿用上节课的内容，提问：用近视人数÷总人数就能求出什么？根据[近视人数总人数]=83.3%，我们还可以得出什么？

板书：[未近视人数总人数]=1-83.3%

（设计意图：在具体情境中理解百分数是两个量比较的一种关系，并能根据数量关系进行合理的联想。）

环节二：利用线段图，理解不同生活情境中百分数的意义。

（1）王丽用电脑输入一份资料，她上午比下午多输入了20%。

（2）本季度水费比上季度节约20%。

（3）现在每件产品的成本比原来降低了30%。

（4）实际比计划超产10%。

……

（设计意图：借助线段图，让学生对各种情境中的百分数进行分析，并利用分数的表述形式形成关系式，体现百分数表示的是两个量比较的一种关系。这种词句的含义清楚了，解决百分数的实际问题就会水到渠成。）

（三）“百分数实际问题”一课

本节课主要让学生在理解百分数意义的基础上，借助关系式，正确解答实际问题。避免学生用“套路”解决问题，把算术法和方程法进行有效沟通。

环节一：利用关系式解决一步实际问题。

（1）分析关键句，获得关系式。

港珠澳大桥海底隧道长度约占大桥总长的12%。

讨论：句中是哪两个量在比较？12%是什么意思？能得到怎样的关系式？

[隧道长度大桥总长]=12%， [海面桥长大桥总长]=1-12%

（设计意图：结合前两节课的理解，分析关系句中的量，探讨12%的含义，获得两个关系式，为进一步解决问题做好准备。）

（2）解决问题，反馈交流。

港珠澳大桥全长55千米，海底隧道长度约占大桥总长的12%，海底隧道长约多少千米？

方法一：设海底隧道长[x]千米，[x55]=12%;

方法二：55×12%=6.6（千米）。

（设计意图：引导学生结合实际问题选取恰当的关系式，对方程法、算术法的道理进行分析。）

环节二：利用关系式解决两步实际问题。

（1）分析关键句，获得关系式。

港珠澳大桥比青岛湾大桥长51%。

借助线段图理解51%的含义，通过联想获得不同的数量关系式。

（2）解决问题，反馈交流。

港珠澳大桥长55千米，比青岛湾大桥长51%，青岛湾大桥长多少千米？

方法一：设青岛湾大桥长[x]千米，[55x]=1+51%;

方法二：55÷（1+51%）≈36.4（千米）。

（设计意图：引导学生选取恰当的数量关系式解决实际问题，体会利用百分数表示两个量比较的意义。）

环节三：总结方法，尝试练习。

从香港到珠海通过港珠澳大桥驾车用时为45分钟，比原来缩短了75%，原来用时多少分钟？

（设计意图：通過剖析百分数的意义，分析数量关系式，得出解决问题的方法，提升学生解决问题的能力。）

四、实践反思

在整体单元设计中，突出了百分数表示的是两个量之间的关系，并用简洁的分数形式表示这样的关系，巧妙地沟通了倍、分数、比、百分数之间的联系。在整个单元学习中，学生能够紧紧抓住“关系”这条主线，由浅入深、层层递进，打通了知识体系之间的联系。

这样的设计对学生解答复杂的百分数实际问题，尤其是逆向的实际问题，起到了很好的支撑作用。学生不用过多地关注谁是已知，谁是未知，什么情况下用乘法，什么情况下用除法，并有利于用方程法解决问题，有利于中小衔接。

整体设计利用了多种形式呈现百分数，使学生深刻地理解了生活中的百分数。在题材的选择上，关注了百分数各种不同形式的表征，100%以内的，大于100%的，整数的、分数的、符号的、图形的，部分与整体的，部分与部分的，使学生能够从中感悟到百分数的本质。

考虑到百分数也是一个数，单元设计还需进一步完善。今后应通盘考虑教材，紧紧抓住“关系”“比较”的核心要素，把倍、分数、百分数、比这些相关的概念整合起来，使知识之间的联系更加紧密。

（北京市昌平区教师进修学校   102200

北京市昌平区南口铁道北小学   102200）