小包装中的大学问

丁小东

摘  要：苏教版小学数学六年级上册第一单元综合实践课“包装中的问题”是以长方体和正方体表面积知识为线索，引导学生综合性地解决生活中的数学问题。在课堂教学活动中，笔者分三步走：思维初体验，运用公式计算包装表面积;思维中体验，探究比较提炼包装表面积;思维深体验，设计方案优化包装表面积。

关键词：苏教版;表面积;包装的学问

“综合与实践”是小学数学新课标中重要的四大版块内容之一，其特别强调：通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体验能够运用所学的知识和方法解决简单的问题，获得初步的活动经验 [1]。在苏教版各个年级的教材中，教材编委都根据数学知识穿插安排了综合实践活动，既是为了帮助学生巩固数学知识，更是为了帮助学生在生活中应用数学知识。

笔者在教学苏教版六年级上册第一单元“长方体和正方体的表面积”一课后，根据这个知识点安排了数学综合实践课“包装中的学问”，带领学生将长方体和正方体表面积的知识运用到解决生活中的包装问题上，让他们能够根据实际情况做合适的取舍。

[?]一、思维初体验，运用公式计算包装表面积

数学是思维的体操，在数学课堂上没有思考就没有学习。课堂初始，笔者组织学生复习了长方体和正方体的表面积的知识，再借助生活情境引出物品的包装问题，促使学生在动手操作和空间想象中感受到物品的包装就是求这个物品的表面积是多少。

师：同学们，上一节课我们学习了长方体和正方体的表面积，大家还记得计算长方体和正方体的表面积的公式吗？

生：长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体的表面积=边长×边长×6。

师：大家记得真好，这节课我们就利用长方体和正方体的表面积的知识来解决我们生日时包装物品的问题。瞧，佳佳的生日快到了，佳佳的小伙伴想要给佳佳送一份生日礼物。好朋友明明想送一盒糖果给佳佳，他正愁着要买多大的包装纸呢。明明邀请大家帮他算一算（出示糖果盒子的长是15厘米，宽是15厘米，高是15厘米，接口处不计）。如果我们要买包装纸，想一想要包住这盒糖果，我们要包住这个盒子的哪些部分？

生：我们要包住这个糖果盒子的上面、下面、左面、右面、前面、后面这6个面。

师：要计算这6个面的大小就是求什么？

生：求6个面的大小就是计算糖果盒子的表面积。

师：大家在学习单上算一算这个糖果盒子的表面积是多少。

生：因为这个糖果盒子是正方体，所以我们先计算出一个面的面积是15×15=225（平方厘米），6个面的面积是225×6=1350（平方厘米）。所以这个糖果盒子需要1350平方厘米的包装纸。

在这个教学片段中，笔者借助计算一个糖果盒子需要包装纸的大小，唤醒了学生已有的长方体和正方体的表面积公式，通过实物观察帮助学生了解包装糖果盒子就是计算糖果盒子的表面积，在问题转换中运用公式计算出这个糖果盒子的表面积。

[?]二、思维中体验，探究比较提炼包装表面积

数学知识的发展是一个循序渐进的过程，同样，学生学习数学知识的过程也是一个循序渐进的过程 [2]。因此，笔者在设计本节课时也遵循这个原则，借助数学问题推动学生的思考，引导他们在计算中发现“重合部分越多，表面积就越小”的结论。

师：我们帮助明明包装好了糖果盒子，迪迪送给佳佳的生日礼物也需要大家帮他来算一算需要购买多大面积的包装纸。迪迪买了两本故事书，每本书的长是20厘米，宽是15厘米，厚2厘米，请你先拿两本书摆一摆，想一想有哪些不同的摆法。

生：有三种不同的摆放，第一种是把两本书最大的面重合，第二种是把两本书中间缝的面重合，第三种是把两本书短的面重合。

师：这三种不同的包装方法，你能算一算這样放需要多大的包装纸吗？把你的计算过程写在学习单上。

生1：第一种是把两本书最大的面重合，这个大长方体的长是20厘米，宽是15厘米，厚是4厘米，所以这两本书包装的表面积是（20×15+20×4+15×4）×2=880（平方厘米）。第二种是把两本书中间缝的面重合，这个大长方体的长是30厘米，宽是20厘米，厚是2厘米，所以这两本书包装的表面积是（30×20+30×2+20×2）×2=1400（平方厘米）。第三种是把两本书短的面重合，这个大长方体的长是40厘米，宽是15厘米，厚是2厘米，所以这两本书包装的表面积是（40×15+40×2+15×2）×2=1420（平方厘米）。

师：生1是先确定组合后图形的长、宽、高，再来计算组合后图形的表面积。还有不同的计算方法吗？

生2：我是先计算出这两本书的表面积，再减去它们重合的部分，就是需要包装纸的大小了。这两本书的表面积都是（20×15+20×2+15×2）×2=740（平方厘米），两本书的表面积就是740×2=1480（平方厘米）。第一种情况是20×15这个面算了2次，所以1480-20×15×2=880（平方厘米）;第二种情况是20×2这个面算了2次，所以1480-20×2×2=1400（平方厘米）;第三种情况是15×2这个面算了2次，所以1480-15×2×2=1420（平方厘米）。

师：生2的方法是先计算出两本书一共的表面积，再减去公共部分的面积。从算式中，你发现了什么？

生：我发现表面积相同，重合部分面积越多，包装纸的表面积越小。

在这个教学片段中，相比上一个数学问题难度提高了，但是学生在上个问题的基础上，围绕第二个数学问题展开严密、严谨的数学思考，能从不同角度得到两本书所需要包装纸的包装方法和大小，这也为下一环节的综合实践问题做好了铺垫。

[?]三、思维深体验，设计方案优化包装表面积

笔者在数学综合实践活动中由“扶”到“放”，逐步放手让学生自己去探究并完成学习单。第三个环节的思维深体验，笔者设计了更加复杂的数学问题，让学生借助前面两个环节自己去设计四个相同物体摆放所需要的包装纸大小，在寻找最节约的包装纸过程中渗透优化思想。

师：还有一位同学红红也送佳佳生日礼物了，让我们一起来看看她需要多少包装纸，需要最少的包装纸是多少（出示红红的生日礼物：4本便利贴，便利贴的长是6厘米，宽是5厘米，厚是2厘米）。你会怎么摆这4本便利贴？把它们包装起来有哪些不同的包装方法？最节约的包装纸需要多少呢？大家先不动手，先猜想一下什么时候的包装纸最少呢。

生1：我猜是重合的面越多，包装纸的表面积肯定就越小了。

生2：我猜是把4本便利贴都叠起来的时候，需要的包装纸最少。

师：到底怎样最少，我们要用数据来说话。接下来请大家小组合作，先摆一摆，再计算出各种情况下所需要的包装纸大小。

生3：我们小组一开始摆出了6种不同的情况，可以分成3种相同的面重合和3种不同的面重合。3种相同的面重合是这样的：（1）6个大面重合;（2）6个中面重合;（3）6个小面重合。3种不同的面重合是这样的：（1）4个大面和4个中面重合;（2）4个大面和4个小面重合;（3）4个中面和4个小面重合。接着，我们先计算出4本便利贴的表面积总和是：（6×5+6×2+5×2）×2×4=416（平方厘米）。然后再计算出这6种情况重叠部分的面积，3种相同的面重合的面积是：（1）6×5×6=180（平方厘米）;（2）6×2×6=72（平方厘米）;（3）5×2×6=60（平方厘米）。3种不同的面重合的面积：（1）6×5×4+6×2×4=168（平方厘米）;（2）6×5×4+5×2×4=160（平方厘米）;（3）6×2×4+5×2×4=88（平方厘米）。要让包装纸最少，就要去找重合部分最大的，所以是当6个大面重合的时候，包装纸的面积是416-180=236（平方厘米）。

生4：我们小组只算了“6个大面重合”和“4个大面和4个中面重合”这两种情况，因为“6个大面重合”是“3种相同的面重合”中面积最大的，“4个大面和4个中面重合”是“3种不同的面重合”中面积最大的。所以我们只要比较出这两种情况到底谁大就可以了。

生5：我觉得比较“6个大面重合”和“4个大面和4个中面重合”谁大，其实就是比较“2个大面”和“4个中面”，换句话说就是比较“1个大面”和“2个中面”谁大。

师：太厉害了，把一个那么复杂的大小比较转化为如此简单的大小比较。掌声鼓励！

在这个教学片段中，虽然这个探究问题难度增加了，但是学生充分利用前一阶段得到“表面积相同，重合部分面积越多，包装纸的表面积越小”的结论，在层层深入中不断化繁为简，把复杂烦琐的计算变成比较简单的长度关系，促成了最节约包装纸的优化和计算过程的优化。

总之，一个小小的包装纸问题，引出了一系列的数学问题，这是一个典型的数学与生活相结合的综合问题。回顾整个教学活动，我们发现这样的综合实践课不仅更贴近生活，促使学生感受到学习数学的最终价值，又让学生在思考讨论问题中发展人类社会必需的技能，提升他们的数学核心素养。

参考文献：

[1]  刘紫莹. 数学综合实践活动课程的开发策略[J]. 数学教学通讯，2018（22）：42-43.

[2]  陈惠芳. 注重动手操作，提升数学素养——以苏教版小学数学“综合与实践”活动课教学为例[J]. 教育視界，2018（20）：21-24.