数学问题串教学实践的再思考

邓艳平，毋晓迪

(广西民族大学 理学院，广西 南宁 530006)

1 “问题串”教学的基本理念

瑞士杰出心理学家皮亚杰提出，知识的获取不是依靠教师的传授，而是通过有意义的自我建构得到的.“问题串”教学遵循了这一重要的理论，该教学模式是以一连串问题为核心进行交流，让学生亲自参与到系列的、连续的思维活动中，并注重问题的解决，探究知识建构的意义.

教学中，提出问题能促使学生思维活动，如果问题以“串”的形式呈现，能有效地打破教学中离散琐碎的问题，更加高效有序地驱动教学过程.与此同时，学生的思维得到不断迸发与攀升，利于发展和深化学生的数学能力及核心素养．

问题串的设计并非是为了追求时尚的教学设计，它是将“问题”趋于“问题串”的教学形式，而单个独立的问题之间存在有机的联系.其设计要符合学生的知识储备和认知规律，即考虑到设计什么有效的问题、问题的导向性大小、问题设置的次序等.这些问题是循序渐进，有法可依的，其设计还要让课堂教学更加贴合数学的本质，最终达到高效课堂的目的.笔者以高中数学教学中常见的几种课型为载体，结合自身在教学实践中的一些问题串教学案例研究，归纳总结出一些教学设计方法，供交流与参考．

2 不同课型数学问题串的设计举例

高中数学教学中常见的课型有新授课、习题课、复习课三种类型.无论哪种课型，若采用数学问题串教学模式，如何有效地进行问题串设计是当今教师面临的重大课题.下面就课型的不同撷取典例来阐述数学问题串的设计说明．

2.1 新授课中的问题串教学

新授课的一大亮点是“新”，对教师也提出了要研究新的教学方法，要讲出新的课堂味道，最终的目的是保证学生要有新的收获.然而数学学科中新的知识并非无中生有，它是不断地逐新趣异、推陈出新.因此，我们以学生已有的知识和经验作为教学活动的“起点”，在不同的概念、定理和公式教学中，可以把最终生成的知识作为“终点”，在“起点”与“终点”之间必定存在若干个重要步骤和环节，我们可以称之为“过渡点”，而这若干个“过渡点”就承载着各自的功能.因此，在设置问题串时“过渡点”的关键性不言而喻.

案例1 :人教A版必修一教材中函数单调性中增函数的定义：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1

图1

【学生活动预设】学生已经对函数单调性有了初步的了解，并得到了增函数的概念，但是对于概念中的核心关键部分并非清晰明了.那么，教师如何去启发、引导学生理解并掌握这个概念？

【教师活动】问题1：函数单调性为什么研究的是定义域的某个区间？——学生并非能及时回答这个问题，教师要做到及时引导，举出反例，如图2所示.

图2

采用举反例的方式让学生体会到在整个函数f(x)的定义域I内未必都单调，而区间(a,b)上是单调递增的，也表明了函数的单调性具有局部性特点.

问题2：所取两个变量的任意性有什么作用？——学生对“任意”两个抽象字眼的实质理解上仍存在困难，教师通过图例解释，如图3所示.

图3

为了解释在区间(a,b)上取任意两个自变量的问题，在区间内取多个值，凸显任意性的作用是取遍该区间所有值.

问题3：增函数随自变量增大函数值怎么变化？——该问题地抛出再次表明增函数的实质特征，即只要某个函数是增函数，那么这个函数随自变量增大函数值一定增大.

问题4：研究函数单调性有什么作用和意义？——通过“形”和“数”两种角度的概括与分析，可以研究实际问题，例如利润变化趋势和函数最值等.

问题5：单调区间开闭如何选择？——对于区间概念的理解，学生较容易掌握，但对于区间端点的取值决定函数单调性的问题学生一时难以捋顺思绪.教师要做的是解释该问题的本质，由于端点处不影响函数单调性，因此在端点处有定义则选择闭区间，无定义选择开区间.

【设计意图】通过上述几个问题的串联，师生共同探讨和交流，让学生亲身体验并理解增函数的概念，明晰关键词的意义，清楚特例和反例的构造意图.此外，学会用数学语言表达关键问题，揭示概念的内涵和外延．

2.2 习题课中的问题串教学

习题课是课堂教学活动中一种重要的课型，尤其是在各大小考试的复习阶段，习题课中对试题的讲评似乎成了一个不可或缺的环节.转变常规习题课的教学模式，是每个老师在教学过程中需要考虑的一个问题.在习题课教学中巧妙设计“问题串”进行习题讲解，可以深入剖析习题的思绪和脉络，多方位挖掘解题思路，温习并巩固已有知识，促进知识正迁移，使得课堂教学效益最大化.

案例2 :以一道含参数绝对值不等式求解问题为例，设计问题串教学.

设f(x)=2|x-1|+|x+2|，(1)求不等式f(x)≥4的解集；(2)若不等式f(x)<|m-2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围.

【学生活动预设】学生已具备初中时所学到的绝对值的意义和两个重要性质等问题.学生能对仅含一个绝对值的不等式的求解寻找出多种解题途径，但对于求解含有两个绝对值的不等式问题，多数学生感到束手无策.

【教师活动】问题1：含有绝对值的函数是什么类型的函数？——学生极大可能一时回答不出教师预想的标准答案，教师引导学生去绝对值号，渗透分类讨论思想.学生会发现去绝对值号后是一个分段函数

问题2：怎么巧妙解该绝对值不等式？——改问题是解决第(1)问的核心问题.学生对于分段函数的理解并不陌生，在三个定义域不同约束下，产生出三个不等式，每个不等式解得结果要在每段定义域的大前提下来取交集即可.

当-2

问题3：如果通过函数图像来解决不等式问题，主要研究函数的什么性质？——该问题的提出，旨在提高学生动手操作能力，同时考查学生采用数形结合解题的能力，如图4所示.

图4

通过利用函数的单调性这一性质做出草图，来解决绝对值不等式问题，清晰直观，简单明了，至此，第(1)小问题已解决.但第(2)问是一个新的问题，问题4：f(x)<|m-2|的解集是非空集合需要限制什么条件？——该问题的实质是如何将问题转化为已有知识去解答，可以将问题转化到函数f(x)与新函数f(m)=|m-2|在f(x)<|m-2|有交集即可.简言之，要限制函数f(x)的最小值问题.而函数f(x)在(-∞,1]上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，所以f(x)≥f(1)=3，此时只需满足3<|m-2|，即m>5或m<-1.

上述解法是利用函数图像的视角来解决问题，问题5：涉及绝对值函数时还可以用什么方式处理最值问题？——该问题的提出，让学生体会绝对值不等式放缩时涉及的一个核心关键点，即三角不等式.

紧接着，教师追问问题6：三角不等式使用的条件是什么，该题目能否直接用三角不等式？——大多数学生会默写出三角不等式的表达形式，但对于三角不等式在放缩时要满足的前提条件模棱两可.学生对于形如y=|x-1|+|x+2|的值域求解问题可能会直接计算：y=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，目的是“消掉”变量x，对于y=2|x-1|+|x+2|与y=|x-1|+|x+2|的不同就在于变量x的系数不同.因此，三角不等式使用的条件是在变量系数相同时即可使用，从而该题放缩为：f(x)=2|x-1|+|x+2|≥|x-1|+|x+2|≥

|(x-1)-(x+2|)=3，接下来的问题的解决步骤同于上述方法.

问题7：以后遇到了不符合三角不等式使用条件的绝对值不等式时，该如何巧妙解决问题？——该问题等同于给学生一个启示，即遇到对于系数不同的双绝对值函数时，如何去放缩的问题，引导学生得出操作步骤(拆分放缩+三角不等式放缩).

【设计意图】针对该习题的问题串设计“浅入深出，由小及大”,引导学生进行知识自主建构.实现通过先解决小问题，再解决大问题.这样的问题串设计，首先，从学生已有的知识和经验基础出发，寻找最近发展区，建立新旧知识之间的联系.其次，充分发挥了教师的主导作用，把握知识的制高点，使得数学知识体系的构建更加完备完善.最后，教师就课前对问题串的精细化预设设计和课上抛出的一系列问题串，使得课堂活动的预设与生成有机对接，有效帮助学生巩固与应用新知识，复习与强化旧知识，同时训练与提高学生的思维方法，增强学生的实际运用能力和创新能力.

2.3 复习课中的问题串教学

数学学科中的复习课针对性强，是在原有基础上将知识巩固和深化，是对知识的有机整合，把从属的知识串成线，把相关知识连织成网状结构，最终目的是实现知识结构的系统化.引发学生的数学思考，提高数学复习的效率．接下来，针对如何判断或者证明一个数列是等差(等比)数列的方法进行复习课教学.

案例3 ：以数列知识为主线，设置问题串教学.

【学生活动预设】学生已经学习过等差和等比数列的通项公式以及其前项和公式，但没有形成知识体系的系统归纳.

【教师活动】问题1(先讲等差数列)：你能快速说出判断或证明一个数列是否是等差数列的有效方法呢？——该问题地抛出，旨在检验学生对先前学习过的知识的粗略把握，也考查学生观察和归纳问题的能力.

学生首先会联想到最基础最本质的问题——概念(定义)，即定义法：当n≥1,n∈N*时，有an+1-an=d(d为固定常数)，数列{an}是等差数列.

问题2：满足一个数列是等差数列的项数至少是几项？——该问题地抛出，目的是检验学生的基本的数学素养，紧扣等差数列的定义中“从第二项起，后一项与前一项之差”这一关键句，不难得出一个等差数列的构成至少需要3项.

【教师活动】以上两种判断(证明)的方法是建立在数字的特征上，而我们已经掌握了等差数列的通项公式和前n项和公式.

问题4：等差数列的通项公式的简化形式有什么特点？——由于数列是特殊的函数，教师引导学生将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d进行形式上的转变，化为an=dn+a1-d，即满足形如an=kn+b(k、b为常数)的数列是等差数列.

问题6：通过上述几种判断或者证明一个数列是等差数列的几种方法后，你能类比这几种思路去判断或者证明一个数列是等比数列呢？——学生会延续上述几种思路，类比归纳出3种方法，即：

【设计意图】上述与数列知识有关的复习课是根据学生的认知特点和规律，通过数学问题串的设计，从点上击破，从线上梳理，从面上总结，促进所学知识网络化、系统化、条理化.教师在教学活动中充分发挥学生的主体性，让学生积极主动参与到该模块知识的复习全过程中，做学生学习的促进者，多角度、多途径的判断或者证明一个数列是否为等差(等比)数列，做到由易到难，由浅入深，做到环环相扣，逐步提高．

3 教学启示与反思

在数学教学活动中，有效的问题是激发学生活跃思维与探究活动的引子.教师在教学活动中，通过设计恰当的问题串，充分调动学生积极性，使得教材中知识结构体系转化为学生的认知结构体系，把教材中静态的知识转化为课堂上动态知识的建构.

解决数学问题时数学思维是心智活动不可或缺的部分，数学思维是提高学生学习数学主观能动性的动态过程，该过程中表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题的特征.因此数学问题是获取数学知识的大前提，是数学思维的载体，也是建立在一切数学思维活动上的源泉．

在新课程理念下，教师要始终以学生为主体，做到要认真研究学生，认真研究教材，将核心内容通过问题串的精细化设计，环环相扣，提高学生学习数学的兴趣.此外，问题串的设计要贴切学生认知和知识储备，以及学生对知识的可接受程度.问题串的设置要确保其问题的难度和适当的思维强度，重在有效促进学生求异和发散思维的发展.

此外，问题串的设计并非要求面面俱到，并非全面全方位，对核心问题的问题串设计，围绕“核心”，主次分明，强调的是知识的构建，使知识自主生成.问题串中的“问题”要有针对性、价值性、启发性、引领性，以确保找准、落实重难点.“大处着眼，小处着手”，让基础知识、基本技能得到强化，让学生在方法获取上有明显的提升.对核心知识和基本思想方法进行一体化科学合理的问题串设计，能满足不同层次学生恰到好处地进行自主探究，构建有思维、有活力的数学课堂，会激发学生们的数学学习兴趣，从而提高课堂教学效率.