数学概念图视野下高中习题教学实践探索*

☉江苏省南京市雨花台中学 刘 恒

☉江苏省南京市雨花台中学 刘进全

图1

习题课在高中数学课堂教学中占有重要的份额，其教学目的在于通过习题让学生对所学的知识进行巩固，并形成一定的解题技能和数学思维.教师利用概念图进行习题教学以及教学设计，清晰把握教学中的关键概念，分析教学重点与难点，设计更加贴近学生学习实际的教学情境，增强学生数学学习的主动性，以下教学实践或许会对大家有所启发.

一、小题适当前置，回顾知识网络

在很多习题课中，往往是先进行基础知识的复习，然后是例题、练习、检测.但实践证明，学生对这种模式的习题课“兴趣不高”.为了提升习题课的教学效率，结合所教学生的特点，我们应选出那些具有代表性的书本习题或是根据所教的内容自编的一些小题，形成一组从易到难、层层递进的小题题组，习题课前就交给学生解答，从基础题的训练着手，小步骤、低起点，通过事先练习来重温旧知，上课前，教师先进行批阅，掌握学生的做题情况，课堂上，通过概念图对知识进行整合，梳理概念间的关系，以掌握不同内容之间的联系，使学生从本质上认识所学的概念.教师在教学中，要引导学生分析概念本身的特征，寻求相关概念的关系，探索表达这种关系的方式，并进行有序编码，构建网络结构，以便用时检索并提取所需的信息，帮助学生构建完整的知识网络，这样，学生往往“较有兴趣”.教师选编的题组既要注意本节课知识点的覆盖，又要渗透常用的数学思想方法，这也促使教师需要进一步思考如何能更好的编制好小题题组，同时，教师在编制题组的过程中，进一步熟悉了教材，从而促使教师进一步深入研究教材.

案例1函数的极值与最值复习课中的“小题前置”

1.如图2是y=f（x）导数的图像，对于下列四个判断：

①f（x）在［-2，-1］上是增函数

图2

②x=-1是f（x）的极小值点；

③f（x）在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；

④x=3是f（x）的极小值点.

其中判断正确的是______.

2.函数f（x）=x3-3x2+7的极大值为______.

4.若函数f（x）=x2+3ax2+3（a+2）x+3既有极大值又有极小值，则a的取值范围为______.

图3

(3)成都平原城市群各经济类型数目呈波动性变化，经济发达型分布在以成都市为核心的县域，经济较发达型分布在成都市区的外围，大部分区域属于经济中等型和经济滞后型，主要分布在研究区边缘地带，但研究区整体经济空间发展格局逐步趋于稳定，呈“凸”字型空间分异格局.从经济实力结构看，从2000年的“金字塔型”逐步转变为“橄榄型”结构.

点评：五个小题难度不大，可以让学生独立完成.在完成的过程中，学生不仅了解了本节课所涉及的主要知识点和基本题型，还掌握了基本概念及概念间的联系（图3），从而为本节课的进一步探究创造了条件.

二、精做典型习题，避免错误陷阱

充分认识书本习题和典型习题本身所蕴含的价值，并高度重视这些习题的质量，课堂上，精选习题，克服贪多、贪全，在此过程中，借助学生的讲解，将学生解题的过程，甚至是发生“花样繁多”的错误解法暴露给学生，让学生共享“错误资源”，在剖析错误解法的过程中，掌握其中的共性通法，并达到熟练程度，经历由“误”到“悟”的思维过程，掌握数学思想方法的精髓，从而达到更深层次地理解、感悟真知、培养思维严谨性的目的.在此过程中，正因为可能出现“花样繁多”的错误解法，这就促使我们教师要认真备课，精心预设，充分认识到课堂上可能出现的情况，并不拘于预设，灵活处理课堂的生成.

案例2数列复习中的易错分析

1.已知数列{an}满足a1a2a3…an=n3（n∈N*），则数列{an}的通项公式an=______.

易错点分析：a1a2a3…an-1=（n-1）3仅适用于n∈N*且n≥2时的情况，故不能就此断定就是数列{an}的通项公式.才是正确答案.

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，且满足a1＞0，S11=S18，则当Sn最大时，n=______.

易错点分析：由于a15=0，所以S14=S15，当n=14或n=15时Sn最大，解答时容易忽视数列中为0的项.

易错点分析：解答本题容易忽略在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件.

而得到a1a9=±5的错解.正确答案是5.

点评：本案例中的3个问题极具典型性，看似不难，其实是学生的“死穴”.在复习中让老题发挥新的功能，理解数列与一般函数的区别与联系（图4）.

图4

三、注重变式思考，设置开放试题

注重通过变式训练加强知识的横向联系，达到优化认知结构、开阔眼界、拓展思维的目的，变式可将问题的本质特征暴露出来，而且可以对解题方法有全面且深入地理解，找到学习的乐趣，消除数学的神秘感，有利于培养学生的创造性思维能力.如条件与结论互换命题能否成立；加强或削弱命题的条件或结论能否得到正确的命题等.上好习题课很关键的因素就在于例题的变式处理水平.在此过程中，要注重题后的反思，在习题解答后，鼓励学生根据做过的习题编写新题，并尽可能编写开放性试题，这样可以激发学生的自主意识、探究意识，并达到举一反三的效果.

案例3直线与圆位置关系开放性试题探索

依据概念图5，我们可以设计如下开放性习题：若已知一条直线与圆C：（x-3）2+y2=1，我们可以求解哪些问题？学生可以从位置、距离、切线、向量、最值等角度提出问题，进而学会如何思考，让学生以命题者的身份来学习数学，多方位、多角度地分析问题，从提出问题到解决问题，彰显充满活力的课堂.

图5

总之，数学概念图视野下的习题教学，要求教师要抓住知识的本质，创设合适的教学情境，并启发学生思考，让学生在掌握所学知识技能的同时，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养在构建知识网络中把握数学的整体性.而数学概念图作为教学工具，能够在整体构建数学知识网络中促进学生核心素养的发展，把学生数学学科核心素养渗透到日常教学中，最终落实到课堂上，落实到学生头脑中，这就需要我们做好以下几点：（1）习题课前布置学习材料，先做后讲.而且上课之前，教师要先了解学生的做题情况，摸清学生哪些题目会做，哪些题目不会做，哪些题目易错，由此决定课堂上应重点讲解的题目.（2）习题课要做到“一讲重难点，二讲易错点，三讲易混点，四讲易漏点；不讲太难的，不讲太易的，不讲学生已经熟练掌握的，不讲学生自学能学会的”.（3）习题课切忌贪图大容量，导致每道题都讲，但没讲解透彻，更不能只有分析，没有规范完整的板书，给学生留下的都是“半成品”题.课上应集中于某几个题目，从容不迫并彻底地解决它们.要想让学生跳出题海，教师就要跳进题海去选题，选那些真正有意义的、高质量的、难度适宜的，并可以进行适当变式处理的题.习题课中，我们同样要处理好学生的主体地位和教师的主导作用的关系，不能一讲到底，也不能放任不管，要做到放中有收、收中有放、收放有度.从教学理念、教学内容、教学过程及教学方法等方面，全面进行开放性的教学探究与实践.从思想上要相信学生，从行动上要放手学生，调动学生积极主动且愉快有效地学习，这样才能收到较好的效果.