借助平面几何，突破2019年高考题

☉江苏省宿迁中学 李志中

平面几何知识具有“形”的直观性与特殊性，是初中数学与高中数学的自然过渡与链接，与高中数学中平面向量、解三角形、三角函数、平面解析几何等知识具有相同的本质，也是这些相关知识的基础与根源.在解决一些相关的高考数学问题时，经常可以结合平面几何图形的性质，利用平面几何的性质及相关知识来处理，往往可以使得问题的解决变得更自然、更直观、更简单、更快捷、更有效.下面结合2019年数学高考中的真题，通过借助平面几何知识来处理相应的问题，达到巧妙解决的目的.

一、平面几何在平面向量中的应用

平面向量的相关知识中经常含有三角形、平行四边形、圆等平面几何模型，其中平面向量的线性运算涉及三角形法则或平行四边形法则，平面向量的模又涉及圆，还有平面向量中的平行或垂直关系等也涉及平面几何知识，这为利用平面几何知识来解决平面向量的相关问题提供了条件.

例1（2019·全国卷Ⅰ理·7；文·8）已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且（a-b）⊥b，则a与b的夹角为（ ）.

分析：涉及平面向量的问题，可以借助平面向量的数量积、坐标法来处理.而通过构造平面几何模型——三角形，结合平面向量的线性运算、垂直关系以及边长之间的关系，利用直角三角形的几何性质来确定相应的角度即可.

图1

解析：如图1所示，在直角三角形OAB中，设

点评：借助三角形的构造，把对应的平面向量的加、减运算，模等问题转化为三角形的边、角的关系，借助几何直观，并结合平面几何的性质，可以快捷地转化相应的边、角或最值问题，达到有效、直观、快捷地确定平面向量中的几何量问题的目的.采用平面几何的图形来处理，解答更直观，更可行.

二、平面几何在解三角形中的应用

解三角形的相关知识其实就是平面几何知识的深入与拓展，将复杂的解三角形问题加以合理的切割、补形等操作，通过直观模型转化为特殊的三角形模型——直角三角形、等腰三角形或等边三角形等，或其他特殊的平面几何模型，进而直接利用平面几何知识来处理，即可达到有效并合理解决解三角形问题的目的.

例2（2019·全国卷Ⅱ理·15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=6，a=2c，则△ABC的面积为______.

分析：根据题目条件，结合平面几何作图并加以转化，过点A作AD⊥BC，垂足为D，进而切割成两个直角三角形，分别在Rt△ABD、Rt△ADC中，利用直角三角形的性质以及边的关系来分析与求解.

解析：如图2所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

图2

点评：解决本题的常规思维是借助正弦定理或余弦定理加以转化，结合解三角形来处理.而通过平面几何作图，将一些三角形问题经过切割、补形等形式加以转化，比较常见的就是切割成两个直角三角形或是补形成两个直角三角形，利用直角三角形中的边角关系加以转化与应用.平面几何作图处理，求解直观有效.

三、平面几何在平面解析几何中的应用

平面解析几何主要包括点、直线、圆以及圆锥曲线（涉及椭圆、双曲线与抛物线）等相关知识，其相应知识点中也涉及平面几何的相关知识以及平面几何模型，可以借助平面几何中的边、角、平行、垂直、三角形、圆的知识，结合平面几何的方法与思维来处理一些相关的平面解析几何问题，是平面几何应用的提升与拓展，也是实际平面解析几何直观化的基本途径.

例3（2019·全国卷Ⅰ理·16）已知双曲线C=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，则C的离心率为______.

分析：解决本题时往往采用解析几何思维或三角函数思维等来转化与应用.而借助平面几何思维，通过三角形的相关性质来转化，解答过程显得更为简单快捷，处理问题更具特色，效果更明显.

图3

解析：由题可知双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为

利用平行线的性质，有∠F1OA=∠F1F2B.

结合双曲线的渐近线的对称性∠F1OA=∠BOF2，则可得∠F1F2B=∠BOF2.

结合直角三角形的性质可知|OB|=|OF2|，

利用∠F1F2B=∠BOF2与|OB|=|OF2|，可知△BOF2为等边三角形，则知∠BOF2=60°.

点评：平面几何思维来处理圆、圆锥曲线等相关问题时，往往借助平面几何中的相关知识，包括圆幂定理、三角形的相关性质与判定等角度来达到巧妙转化与应用的目的，从而得以求解解析几何中的相关问题.

采用平面几何的图形或相关性质来处理相应的高中数学问题，要注意相关知识点之间的合理联系与有效转化，真正达到“数”与“形”的有效统一与有机转化.同时，采用平面几何思维来处理问题，往往更为直观易懂，操作起来简洁明了.在解决一些相关问题时，可以作为辅助方法或思维，达到有效拓展解题思维的目的，将相关比较陌生或不易处理的数学问题转化为较为熟悉的平面几何问题来处理，从而达到从未知向已知、从复杂向简单、从抽象向直观等的有效转化与应用，充分体现了数学的核心素养.