对“基本初等函数”定义的异议*

☉北京丰台二中 甘志国

对于“基本初等函数”这个概念，一般是这样定义的：

基本初等函数包括以下六类：

（1）常数函数y=c；

（2）幂函数y=xα；

（3）指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）；

（4）对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）；

（5）三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx；

（6）反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx.

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数.

但笔者认为，基本初等函数的个数应尽可能的少，否则不能称其为“基本”.事实上，在上述列举的基本初等函数中，个数还可以减少.

①因为ax=e（lna）x，所以在“（3）指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）”中，可得“指数函数y=ax可由y=eu，u=（lna）x（u是由常数函数y=lna及幂函数y=x相乘得到的）复合得到”.

因而可把“（3）指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）”改为“（3）基本指数函数y=ex”（把y=ax（a＞0，且a≠1）仍然叫做指数函数）.

因而可把“（4）对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）”改为“（4）基本对数函数y=lnx”（把y=logax（a＞0，且a≠1）仍然叫做对数函数）.

因而可把“（6）反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx改为“（6）反正弦函 数y=arcsinx”（把y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，y=arcsecx，y=arccscx分别叫做反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数，把它们及反正弦函数统称为反三角函数）.

综上所述，笔者认为“基本初等函数”的定义应当是：

基本初等函数包括以下五个：

（1）幂函数y=xα；

（2）基本指数函数y=ex；

（3）基本对数函数y=lnx；

（4）正弦函数y=sinx；

（5）反正弦函数y=arcsinx.

初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数.

注：可能有读者还有以下思考：

因为y=xα=elnxα=（eα）lnx，所以“幂函数y=xα是由指数函数y=（eα）u与基本对数函数u=lnx复合得到的”.所以应把“基本初等函数”定义中的“（1）幂函数y=xα”去掉.

实际上，这是不对的.因为当x＞0时，才有y=xα=（eα）lnx，函数y=xα（x＞0）是由指数函数y=（eα）u与基本对数函数u=lnx复合得到的；但当x≤0时，就不能这样复合，并且在以上③的论述中，用到了“（2）幂函数y=xα（选α=2）”，所以在改动后的“基本初等函数”定义中，“（1）幂函数y=xα”不能去掉.