正弦函数、余弦函数的图象教学设计

马宁

摘要：本文分析正弦函数和余弦函数的图象的画法的教学设计，让学生在画正余弦函数图象的过程中体会数形结合，转化与化归，以及类比的数学思想方法。

关键词：高中数学   正弦函数   余弦函数   图象教学设计

一、教学目标：

（一）学习目标：

1.能用单位圆中的三角正弦线作出的图象，知道它的图象;

2.能根据关系，作出的图象;

3.会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图;

4.画正余弦函数图象的过程中，体会数形结合思想，转化思想，以及，类比的学习方法.

（二）重难点

重点：正弦函数、余弦函数的图象的画法.

难点：单位圆中的正弦线转化为正弦函数图象上的点的纵坐标的形与数的转换.

二、教学过程：

（一）情境引入

师：大家是否还记得今年六月份，上合峰会在青岛举行，朋友圈被灯光秀刷屏。短短几分钟表演，看的人热血沸腾、满满的自豪感。我们再来重温一下当时的盛况：（视频展示）

这段视频真正展现了世界水准、中国气派、山东风格、青岛特色。由此可见，形象的、直观的影像是最具表现力，最打动人心，最令人难忘的。我们研究数学问题也是如此，往往从生活中熟悉的问题入手，遵循由易到难，由简到繁，由直观到抽象，由外在到本质的原则.

设计意图：既渗透德育了教育，增强爱国热情和民族自豪感，又说明形象的直观的影像最具表现力，最打动人心，最令人难忘，从而引出我们为什么学习函数从图象入手，以及研究函数图象的必要性.

下面我们再看看生活中还有哪些与数学有关的场景。（视频展示青岛海边波涛汹涌）.

师：这节课我们就学习一种波浪型曲线——正弦函数、余弦函数的图象.

（教师板书：正弦函数、余弦函数的图象）.

设计意图：从家乡的风景入手，激发学习兴趣，并对正余弦曲线有了直观的认识.

师：我们已经知道，当角的概念推广到弧度制后，实数与角度就建立了一一对应的关系。所以，对于任意的实数x，有唯一确定的值sinx（或cosx）与之对应.由这个法则所确定的函数y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函数（或余弦函数）.定义域为R.

课前让大家搜集了资料，生活中还有哪些图形与正弦函数、余弦函数有关？

学生展示简谐振动实验.

设计意图：从学习生活中的例子直观感受正余弦曲线.

师：这只是正弦函数直观的体现，数学上的正弦函数图象怎么画呢？类比必修一学过的指对幂函数图象的画法，你能怎么画？

生：列表、描点、连线。（投影展示）

师：好！下面我们就尝试用列表、描点、连线的方法画正弦函数的图像.

设计意图：类比必修一研究函数的方法，掌握学习方法的迁移.

（二）讲授新课：

1.利用单位圆中的正弦线作函数的图象

教师引导学生探究总结描点法的缺陷：当自变量x任意取值时，对应的y值大部分都是取得近似值，在坐标系中难以精确表示。另外由于作图会出现误差，取点时也不容易取得点的精确位置.

师：（继续引导）怎样才能做出尽可能精确的正弦函数y=sinx的图象？

学生讨论，难以找出很好的办法.

师：要想把正弦函数的图像尽可能精确的画出来，关键是点（x， sinx）能精确的表述出来，所以在列表时要把点的纵坐标精确地表示出来.由于所要描出的点的纵坐标实质都是x所对应的正弦值，所以我们只要把x所对应的正弦值在坐标系中精确表示出来即可.经过前面的学习，我们已经知道，三角函数线可以非常直观的精确表示三角函数值的大小.所以，大家考虑：能否用正弦线来表示（x， sinx）中的纵坐标？

设计意图：应用前置知识，从感性到理性，从形到數，引导学生以形代数.设计自然合理.

师：如何在单位院中做出任意角x的正弦线？

教师引导学生回顾正弦线的做法，让一位学生到讲台上做出单位圆中的正弦线，然后让此名学生在坐标系中表示出比较特殊的点

设计意图：这样可以分散难点，只要解决一个点的坐标，其他以此类推

教师通过几何画板演示如何利用正弦线的平行移动作正弦函数的图象，先演示12等分的，再演示任意取点的，边演示，边讲解，进一步提问学生，让学生体会离散到连续、特殊到一般的认知规律.

师：刚才，我们在几何画板上利用正弦线的平行移动描出了画正弦函数的图像所需要的点，也是描点法.不同的是，我们没有在列表时给出精确的纵坐标值，而是利用正弦线这种我们可以感性认识到的具形的线段刻画了点的纵坐标值，使得描出来的点比较精确，从而就精确地画出了正弦函数y= sinx在[0，2π]的图象.

（此时，教师引导学生对作图过程进行总结，教师对正弦线的平行移动进行说明，让学生进一步体会用正弦线描点的精确性，体会数学结合的思想与方法.）

师：因为正弦函数的定义域是R，所以我们要做出y= sinx在R上的图象。前面得到的仅仅是y= sinx在[0，2π]上的图象.那么我们如何根据y= sinx在[0，2π]的图象得到y= sinx在R上的图象？

2.探究由函数y= sinx在[0，2π]的的图象拓展得到函数y= sinx在R上的图象

利用正弦线的平行移动，教师引导学生做出y= sinx在[2π，4π]上的图象，让学生观察，比较，从而发现：y= sinx在[2π，4π]上的图象和y= sinx[0，2π]上的图象是完全相同的，都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，y= sinx在[2π，4π]上的图象和，y= sinx在[0，2π]上的图象在形状上是完全一样的，只是位置不同.所以要得到y= sinx在[2π，4π]上的图象只需把y= sinx在[0，2π]上的图象向右水平移动2π个单位.同样的道理，用类似的方法得到y= sinx在[4π，6π]、[6π，8π]…上的图象.

教师继续引导学生，达到共识：把函数y= sinx在[0，2π]的图象沿x轴左右水平移动，每次平移2π个单位，就可以得到y= sinx在R上的图象.

教师进行多媒体演示，演示函数y= sinx在[0，2π]的的图象经过水平移动得到函数y= sinx在R上的图象的图象的过程.

师：（小结）根据函数y= sinx在[0，2π]的的图象通过水平移动得到函数y= sinx在R上的图象的过程，我们还可以体会到什么？

指出：上述操作的依据是诱导公式一：.

设计意图：先从感性认识入手，进行归纳总结，得到理性认识，由形入手，以数结论.让学生从直观上感受[2π，4π]上的图象的得到，再根据诱导公式一从理论的角度进行解释，学生容易接受.如果直接利用诱导公式一来解释由函数y= sinx在[0，2π]的的图象得到函数y= sinx在R上的图象的过程，比较抽象，学生难以理解）

教师继续引导学生总结得到：要作正弦函数y= sinx在R上的图象，先作出y= sinx在[0，2π]的图象，然后沿把y=？sinx在[0，2π]的图象沿x轴左右水平平移，每次平移2π个单位，就可以得到y= sinx在R上的图象.

3.探究应用“五点法”作正弦函数y= sinx的简图

师：请同学们观察y= sinx在[0，2π]的图象，图像的形状在哪几个点处发生着比较大的变化？

教师引导学生找出确定函数y= sinx在[0，2π]的图象的几个关键点，进一步解释为什么是这几个点，各有着什么样的作用，让学生用心体会，并结合函数的图像的顶点的作用让学生进一步体会.

师：我们在画的图像时，只要确定顶点的坐标，就能画出函数的大致形状.那么，对于正弦函数y= sinx，我们要用它的图像时是否必须每次都要应用正线显得平行移动来解决呢？这样是不是太麻烦了？有没有更为简洁的办法，既方便，又能做出函数y= sinx的大致图像呢？

学生陷入思考.

师：（进一步提出问题：）在精确度要求不太高时，如何作正弦函数的大致图象呢？

学生经过观察、比较，进行思考，并结合刚才所找出的五个关键点，发现：确定图象的形状有五个起着关键作用的点：图象的最高点，最低点以及与图象x轴的交点，只要描出这五个点，就能确定y= sinx的大致图像.

教师进一步引导学生总结：在精确度要求不太高时，要作y= sinx的大致图象，只需先描出五个关键点，再用光滑的曲线把它们连接起来.这种作图的方法称为“五点法”！

师：这五个点的横坐标取值有什么规律？

生：每个点的横坐标的取值是有规律的——每个间隔个个单位.

师：同学们练习用这五个点画出y= sinx在在[0，2π]的图象;然后再用五点法做出y= sinx在在[2π，4π]的图象，再用五点法做出y= sinx在在[-2π，0]的图象.

设计意图：由特殊到特殊，最后再由特殊到一般，由学生总结出一般方法.

4.探究由正弦函数y= sinx的图象得到余弦函数y= cosx的图象

师：我们可以通过正弦线的水平移动得到y= sinx的精确的图象，也可以应用五点法做出y= sinx的图象.那么，我们能否应用类似的方法做出余弦函数y= cosx的精确的图像以及大致的图像？

生：既然能把正弦线平移得到y= sinx的精确的图象，那么也可以用余弦线平移得到y= cosx的精确的图像.

师：是吗？请同学们试一试.

教师巡视，很快发现学生陷入了苦恼之中，无法用余弦线表示纵坐标的值！

师：同学们，你们的困惑在哪里？

生：正弦线是水平的线段，平移过来没法表示纵坐标！

师：那如果我们把余弦线在对应的点（x，cosx）的横坐标x处立起来呢？也就是让余弦线垂直于x轴？这样能否表示点的纵坐标呢？

学生恍然大悟，但是又陷入新的苦恼：为什么非要立起来呢？

师：这里我给大家留两个课后作业：一是用刚才的方法画出余弦函数y= cosx的图象，二是思考为什么能把余弦线立起来.

然后教师继续并提出问题：能不能直接应用正弦函数y= sinx的图象作出余弦函数y= cosx的图象呢？

教师继续引导学生思考：正弦sinx与余弦cosx可以利用什么公式建立起联系？

生：，！

师：那么我们可否选择上述公式，利用正弦函数y= sinx的图象作出余弦函数y= cosx的图象？应用那一个公式呢？

学生经过思考，恍然大悟：应用这个公式，把y= sinx的图象水平移动就可以得到y= cosx的图象！

師：怎么平移？向哪个方向水平移动？

生：向左水平移动个单位！

师：请同学们动手操作验证你的猜想！

学生通过操作，发现自己的猜想非常正确，欢欣雀跃！

师：请同学们进一步思考：我们选择行不行？如果选择这个公式的话，y= sinx的图象怎么变化才能得到y= cosx的图象？

学生讨论探究，发现：应用公式也可以，不过需要把y= sinx的图象先做一个关于x轴的变换再进行水平移动才行，操作非常麻烦.所以还是应用把y= sinx的图象水平移动就得到y= cosx的图象的方法最好.

设计意图：通过探究，让学生根据函数解析式之间的隐含关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想.

5.探究用“五点法”作余弦函数y= cosx的简图

师：观察余弦函数y= cosx的图象，类比正弦函数y= sinx的图象，思考：确定余弦函数的图像形状的关键点是什么？我们能否应用类似的方法做出余弦函数y= cosx的大致图象？.

学生经过思考讨论，得到确定的结果：能！

师：那么，余弦函数y= cosx的图象的五个关键点是什么？

学生迅速找出五个关键点.

师：（总结）在精确度要求不太高时，先描出余弦函数y= cosx的图象的五个关键点，再用光滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到余弦函数y=cosx的大致图象.这种作图法叫做“五点（画图）法”.

教师指出：五点法是我们今后学习常用的方法.

以下是我们用“五点法”来演示出与正弦函数和余弦函数相关的函数图象

6.典例讲解

示例（1）用“五点法”作函数上的简图;

（2）用“五点法”作函数上的简图.

（对于（1），教师重点、详细讲解，并多媒体演示过程，对于（2），则由学生练习，独立完成.

教师个别指导，学生列表，描点，师点评，并及时纠正学生作图过程中存在的问题.

师：（进一步提出思考，引导学生从图象变换的角度探究图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度出发，利用的图象，得到的图象？同样的，如何利用的图象，得到的图象？

设计意图：教师多媒体演示，学生观察图象间的关系.在课堂教学中，教师在教学中的主导作用必须以确定学生主体地位为前提，注重学生与教师相互交流、共同参与，鼓励学生质疑、探究，让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程.

（三）总结提升：

师：对照学习目标，自查效果达成情况.

结束语：转化思想可以实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，是我们探求未知世界的常用方法.而关于数形结合，华罗庚老先生有一段感触，其中最为精辟的是：数缺形时少直观，形少数时难入微.大家只有掌握好数学思想方法，才会融会贯通，处理起问题来也就更加的得心应手、游刃有余.相信大家会越来越好，越飞越高，成为最好的自己.

三、课后反思：

比较成功的地方：

（一）本节课充分利用信息技术和多媒体融合，将抽象的数学知识及物理实验通过动态的展示，分解难点，更易于学生接收.从上合峰会灯光秀导入，既充分调动学生学习积极性，增强爱国热情和民族自豪感，又说明形象的直观的影像最具表现力，最打动人心，最令人难忘，从而引出我们为什么学习函数从图象入手，以及研究函数图象的必要性，令人耳目一新.

（二）通过学生列举生活中各种波的例子以及物理上简谐振动的实验，给出正余弦曲线的直观体现，充分说明数学来源于生活又服務于生活 ，体现学有用的数学的理念.

（三）教学中图象的展现过程，严谨细致，每一步都有据可查，有理可循，体现数学是严谨的科学，培养学生严谨的思维模式.

（四）教学中能充分发挥学生主体地位，让学生大胆说，大胆做，暴露学生思维，并通过问题驱动启发引导学生，使得思维更严密，思路更清晰。通过问题串的铺设，层层递进，在不知不觉中解决了问题，分散了难点.

（五）教学中注意渗透数学思想方法与类比学习方法，教给学生学习方法的迁移，有利于提升学生学科素养，为学生持续发展奠定基础.

（六）本堂课紧扣数学核心素养，教师充分发挥了引导者的作用，让鲜活的数学思想在课堂中自然流淌，而不是生硬地把学生拽到预设的轨道上来.所谓“道法自然、教法泰然.”

（七）本节课利用几何画板展示了知识的形成过程，把数形结合思想体现的淋漓尽致.遵照“直观感知、操作确认、思辨论证”的学习方式，加深学生对数学概念和性质的理解，提高学习的主动性和积极性，最终提高了教与学的双重效率.

（八）整堂课处处渗透德育教育，让学生为自己是中国人、是青岛人而感到自豪。最后，用著名数学家华罗庚的一段话，激励学生们越来越好、越飞越高，成为最好的自己。

（作者单位：青岛实验高中）