关于高中数学中恒成立问题的分析

卞晗之 夏爽

摘 要 代数中的恒成立问题对于高中学生来说，是一个很重要的必考知识点。以函数知识为基础，内容涉及一次函数、二次函数、图像等，需要采用换元、数形结合等多种方式进行解题，非常考验思维能力。因此，在遇到恒成立问题的时候，要先分析题目，找到最适用的解题方法来快速得出答案。文章对高中数学恒成立问题进行分析，探讨典型的解题思路和分析解题技巧，以此来提升对恒成立问题的理解和掌握。

关键词 高中数学;恒成立;解题思路

中图分类号：G32                                                        文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2019）12-0151-02

恒成立的问题是高中数学中综合性最强的难点，解题所要涉及的知识面十分的广泛，特别是解题中涉及不等式、数列、函数等方面，都是高考的重点。恒成立的问题如此难解，主要是因为其形式多变，没有固定的解题方法，很多同学遇到此类题目会比较茫然，不知从何下手。文章主要介绍了笔者在遇到这类问题的解题思路，抛砖引玉，为大家提供一些解题思路，希望同学们在数学成绩上有所突破。

一、探究高中数学中恒成立问题的解题方法的重要性

笔者在学习数学的过程中，发现恒成立问题的题目模式主要是有关函数的知识点，题型特点是在已知的条件下，非局限性的变量不管如何改变，题目的结果和命题都是成立的。所以，在解决恒成立问题的题目时，思维不能被固化，要从抽象的角度去理解和分析其中的变量。老师曾说出卷者设计此类模式题目的目的是为了提高学生的创新思维能力，考查同学们对逻辑性问题的思考能力，也可以激起同学们对于勇于挑战高难度数学的兴趣。因此，同学们需要通过培养逻辑思维能力，采用多元的解题方法，才能做到充分有效的掌握恒成立问题的解题思路与方法。

二、高中数学中关于含参不等式恒成立问题的分析

数学不等式恒成立中的一个重要形式就是函数。解决含参不等式恒成立问题，首先要解决定义域以及值域的问题，关键是判断给定的定义域是否在函数中恒成立，在恒成立的基础上确定参数的取值范围，从而对于所求的不等式进行证明。对于含参不等式恒成立问题通常采取代数法（分离参数）以及几何法（数形结合）进行证明。关于含参不等式恒成立的题型通常都会涉及到两个参数，而题目本身提供一个已知的参数，通过已知的参数结合函数来对第二个参数的范围进行求解。求解参数的范围即求解参数的最大值和最小值，存在参数m的情况下，通常在求解过程中都需要进行分类讨论，一种方法是通过画出函数的图像，结合函数的性质结合考虑，这种方法过程比较复杂，需要依靠比较强的逻辑思维能力。所以在一般情况下，首选分离变量法来对含参不等式恒成立问题的解答。以下详细介绍分离参数法以及数形结合法。

2.1分离参数法

2.2数形结合法

如果给出的函数题型中，含参不等式中参数与主元不易分离，并且对不等式进行巧妙地变型，使得变型后地函数很容易挖掘出函数的图像，并根据图像所表达出的几何意义来解决恒成立问题，这种解决问题的方法对于一些题型非常有效。首先，将复杂的含参数不等式函数经过变型成基本的初等函数，构造出相应的图形，以观察图形之间的关系。解題的思路是从图形的边界处着手，从而确定参数的范围。以下举例进行证明。

三、函数构造法解决数学中恒成立问题

3.1构造一次函数法

在恒成立问题的题型上，有些没有那么的复杂，即可以化为一次函数的类型来进行计算，及构造成一次函数，则是以图形结合的逻辑思维来进行一次函数的计算，此方法非常的便捷，也更加容易计算。

y=f（x）=ax+b（a≠0）

若y=f（x）在[m，n]上，f（x）>0

则f（m）>0，f（n）>0

题中有两个变量的字母：x和a，要先将其中一个变量字母当做一个常数，可有利于计算。显然题中可将a当为自变量，则可将此类型的问题转化为[-2，2]内的关于a的大于0的恒成立问题上的一次函数^[5]。

解：原不等式可转换为（x-1）a+x-2x+1>0在a≤2时恒成立

设f（a）=（x-1）a+x-2x+1

F（a）在[-2，2]上>0，则f（-2）>0，f（2）>0，即x-4x+3>0，x-1>0

解得：x>3，即x满足[-∞，-1]和（3，+∞）