一类双曲线型目标函数最大值的求法

杨冬成

(江苏省盐城机电高等职业技术学校 224000)

一、引言

在高中数学课程学习中，我们会接触到解析几何中的双曲线内容，双曲线是平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线，它也可以被定义为与两个固定点的距离差是常数的点的轨迹.在高中数学函数内容中，函数知识内容包含了多种类型的函数形式，比如三角函数、常数函数、对数函数、多元函数以及双曲函数等，其中双曲函数就是一种常用的函数.在求解双曲线型目标函数最大值的过程中，利用线性规划的解题思想，可以得到在非线性约束条件下，关于非线性目标函数最值的求法.本文研究的就是一类非线性目标函数中双曲线型目标函数的最大值求法.通过具体的实际例子进行相应的分析.

解析根据题目中给出的不等式组，利用相关工具作出其所表示的平面区域，如下图1所示，其中的阴影部分代表不等式组的平面区域.

图1

在该种类型的题目中，首先要根据题目中给出的不等式组作出其表示的相应的平面区域，将题目中的目标函数进行相应的变形为双曲线型目标函数，再利用线性规划的解题思想，对题目进行分析，进而求得该目标函数的最大值.

二、利用双曲线的切线性质求解相关函数的最大值

当坐标进行平移或者旋转的时候，其不会改变点、线之间的位置关系，对于点与点、点与线以及线与线之间的距离也不会改变.关于双曲线的有关性质，其包含以下两个定理：

如对例2 函数的求解.

解析首先我们先来分析一下这道题的两个错误解法.

图2

错解2 按照线性规划相关的解题思路进行分析，当双曲线经过三角形的顶点时，该目标函数能够取得最大值.

当双曲线经过三角形的点A(-2，8)时，目标函数z=xy=-16；

当双曲线经过三角形的点B(4,2)时，目标函数z=xy=8；

当双曲线经过三角形区域的点C(2,6)时，目标函数z=xy=12.因此目标函数z=xy的最大值为12.

在高中数学函数内容的学习中，函数内容对于整个高中阶段数学的学习而言具有关键性的作用，它对于后续数学相关知识的学习具有很好的铺垫作用.在高中数学函数内容中存在着一类非线性目标函数——双曲线性目标函数，在求解双曲线型目标函数最大值的过程中，利用线性规划的解题思想，可以得到在非线性约束条件下，关于非线性目标函数最值的求法.通过对非线性目标函数的最大值的求解，可以有效地帮助学生开阔数学视野，教师在高中数学教学的过程中，要多引导学生对于双曲线型目标函数最大值求解的学习，让学生能够理解并熟练掌握非线性目标函数的相关解题思路，通过不断训练学生的数学解题思维，提高学生的数学解题能力.